2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十四幂函数新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 二十四
　幂　函　数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为
(　　)
A.-1 B.3
C.-1或3 D.1或-3
【解析】选B.幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2=1,
解得m=3或m=-1;又m2+m-1>0,
所以m=3时满足条件,则实数m的值为3.
【加练·固】已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,则m的值为
(　　)
A.-1　　　　　　 B.2
C.-1或2 D.-2
【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,
所以解得
所以m的值为-1.
2.已知幂函数f(x)=xa的图象经过点P(-2,4),则下列不等关系正确的是
(　　)
A.f(-1)<f(2) B.f(-3)<f(3)
C.f(4)>f(-5) D.f(6)>f(-6)
【解析】选A.幂函数f(x)=xa的图象经过点P(-2,4),所以(-2)a=4,
解得a=2,所以f(x)=x2;
所以f(-1)<f(2),A正确;f(-3)=f(3),B错误;f(4)<f(-5),C错误;f(6)=f(-6),D错误.
3.(多选题)已知幂函数f(x)=xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(-2)>f(1)
B.f(-2)<f(1)
C.f(-2)=f(-1)
D.若|a|>|b|>0,则f(a)<f(b)
【解析】选B、D.幂函数f(x)=xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则n=-2,则f(x)=,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,所以若|a|>|b|>0,
则f(a)<f(b),f(-2)<f(1).
4.在下列四个图形中，y＝的图象大致是（）

【解析】选D.函数y＝的定义域为(0，＋∞)，是减函数.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知点在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)的表达式是________. 
【解析】设幂函数y=f(x)=xα,α∈R;
把点的坐标代入解析式,
得=,解得α=3,
所以幂函数y=f(x)的表达式为f(x)=x3.
答案:f(x)=x3
6.已知幂函数f(x)=xa的图象过点,则函数g(x)=(x-1)f(x)在区间上的最小值是________,最大值为________. 
【解析】由幂函数f(x)=xa的图象过点,
可得2a=,解得a=-1,
即有f(x)=,
函数g(x)=(x-1)f(x)==1-在区间上单调递增,
则g(x)的最小值为g=1-2=-1,
g(x)的最大值为g(2)=1-=.
答案:-1　
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,m)和(2,8).
(1)求m的值.
(2)求函数g(x)=在区间[-1,2]上的值域.
【解析】(1)设幂函数y=f(x)=xα,α为实数,其图象过点(4,m)和(2,8),
所以2α=8,解得α=3,
所以f(x)=x3,
所以m=f(4)=43=64,
即m的值是64.
(2)由题意知,x∈[-1,2]时,
f(x)=x3∈[-1,8],
所以g(x)=∈,
所以g(x)的值域是.
8.(14分)已知幂函数f(x)= (m∈N*)的图象关于原点对称,且在R上是增函数.
(1)求f(x)的表达式.
(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.
【解析】(1)幂函数f(x)= (m∈N*)的图象关于原点对称,且在R上是增函数,可得9-3m>0,解得m<3,m∈N*,
可得m=1,2,
若m=1,则f(x)=x6的图象不关于原点对称,舍去;
若m=2,则f(x)=x3的图象关于原点对称,且在R上是增函数,成立,
则f(x)=x3.
(2)由(1)可得奇函数f(x)在R上是增函数,
f(a+1)+f(3a-4)<0,
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a),
即为a+1<4-3a,
解得a<.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(,2),且f(m-2)>1,则m的取值范围是(　　)

A.m<1或m>3 B.1<m<3
C.m<3 D.m>3
【解析】选D.设幂函数f(x)=xα,由它的图象过点(,2),可得()α=2,
解得α=3,所以f(x)=x3;
再根据f(m-2)>1,得(m-2)3>1,
解得m>3,所以m的取值范围是m>3.
2.(4分)已知f(x+1)=,则函数f(x)的大致图象是 (　　)

【解析】选A.令t=x+1,所以x=t-1,所以f(t)=,所以f(x)=(x≥1)的图象由幂函数y=的图象向右平移1个单位可得.
3.(4分)函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值 (　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
【解析】选A.对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,>0,则f(x)在(0,
+∞)上单调递增,所以m2+2m-5>0,①
又f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,②
由①,②得m=2,所以f(x)=x3,
又a+b>0,所以a>-b,
所以a3>(-b)3,
所以f(a)+f(b)>0.
4.(4分)函数f(x)=x3,若f(a-2)+f(4+3a)<0,则实数a的取值范围为________. 
【解析】因为f(x)=x3,所以f(x)为奇函数,
因为f(a-2)+f(4+3a)<0,
所以f(4+3a)<-f(a-2)=f(2-a),
又f(x)为增函数,
所以4+3a<2-a,
所以a<-.
答案:
5.(14分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意,m2-5m+7=1,
解得m=2或3,
因为f(x)是偶函数,故f(x)=x2.
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,
g(x)的对称轴是x=,
若g(x)在[1,3]上不是单调函数,
则1<<3,解得:2<a<6.
【加练·固】已知幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4).
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设函数h(x)=4f(x)-kx-8在[5,8]上是单调函数,求实数k的取值范围.
【解析】(1)幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4),
所以f(2)=2a=4,所以a=2,所以f(x)=x2.
(2)函数h(x)=4f(x)-kx-8,
所以h(x)=4x2-kx-8,对称轴为x=;
当h(x)在[5,8]上单调递增,≤5,
解得k≤40;
当h(x)在[5,8]上单调递减,≥8,k≥64;
所以k的取值范围为(-∞,40]∪[64,+∞).

1.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为 (　　)
A.-3 B.- C.3 D.
【解析】选D.设f(x)=xα(α为常数),
因为满足=3,所以=3,所以α=log23,
所以f(x)=,则f==.
2.已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x).
(1)求g(x)的解析式.
(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
【解析】(1)设幂函数的解析式g(x)=xα.　
因为幂函数g(x)过点,
所以2α=,解得:α=-1,所以g(x)=.
(2)由(1)得:f(x)=x2+.
①当a=0时,f(x)=x2.此函数的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)为偶函数.
②当a≠0时,
f(x)=x2+的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},
但是f(-x)=(-x)2+
=x2-≠x2+=f(x),
且f(-x)=(-x)2+
=x2-≠-=-f(x),
所以f(x)是非奇非偶函数.
综上,a=0时,f(x)为偶函数,a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.

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