2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价一指数函数对数函数与幂函数新人教B版必修2.doc

单元素养评价(一)
(第四章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2019·荆州高一检测)若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=(　　)
A.a B.-a C.±a D.|a|
【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=,
所以f(x)=,所以f(a2)=(a2=|a|.
2.设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是
(　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.
3.函数y=的值域是 (　　)
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,1] D.[1,+∞)
【解析】选D.由于≥0,
所以函数y=≥30=1,
故函数的值域为[1,+∞).
4.已知函数f(x)=2lox的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 (　　)
A. 　　　B.[-1,1]
C. 　　　 D.∪
【解析】选A.因为已知函数f(x)=2x的值域为[-1,1],所以-1≤2x≤1,
即≤2x≤,
化简可得≤x2≤2再由x>0 可得≤x≤,
故函数f(x)的定义域为.
5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是 (　　)

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1
【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,
当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,
即1+c>1,即c>0,
当x=0时loga(x+c)=logac>0,
即c<1,即0<c<1.
6.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值是 (　　)
A.128 B.256 C.512 D.8
【解析】选B.设log2x=t,则x=2t,
所以f(t)=,
即f(x)=,则f(3)==28=256.
7.(2019·成都高一检测)已知函数f(x)=则f(f(-2))的值为
(　　)
A.81 B.27 C.9 D.
【解析】选A.由f(x)=
得f(-2)==9,
所以f(f(-2))=f(9)=92=81.
8.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=eln x的定义域和值域相同的是
(　　)
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
【解析】选D.函数y=eln x的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;函数y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.
9.(2019·揭阳高一检测)已知a=0.20.3,b=0.30.2,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>b>c
【解析】选A.因为0.20.3<0.30.3,0.30.3<0.30.2,所以0.20.3<0.30.2,
由=0.30.1,所以0.30.1>0.30.2,
所以c>b>a.
10.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
(　　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,lg=10.1,=1010.1.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.对于0<a<1,下列四个不等式中成立的是 (　　)
A.loga(1+a)<loga
B.loga(1+a)>loga
C.a1+a<
D.a1+a>
【解析】选B、D.因为0<a<1,所以a<,
从而1+a<1+.
所以loga(1+a)>loga.
又因为0<a<1,所以a1+a>.
12.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 (　　)

A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f<
【解析】选A、C、D.·=,所以A成立,×≠,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则>0,若x1<x2则f(x1)<f(x2),则>0,故C正确;
f<说明函数是凹函数,
而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.
13.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 (　　)

A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B.函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称
C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4
D.函数f(x)有且仅有两个零点
【解析】选A、B、D.函数f(x)=|ln|2-x||的图像如图所示:

由图可得:函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,A正确;函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,B正确;若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则当x1,x2>2时,x1+x2>4,C错误;函数f(x)有且仅有两个零点,D正确.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
14.(2019·上海高一检测)设函数f(x)=(其中a为常数)的反函数为f-1(x),若函数f-1(x)的图像经过点(0,1),则方程f-1(x)=2的解为________. 
【解析】由y=f(x)=,
得x-a=y2(y≥0),
所以函数f(x)的反函数f-1(x)=x2+a(x≥0).
把点(0,1)代入,可得a=1.
所以f-1(x)=x2+1(x≥0).
由f-1(x)=2,得x2+1=2,即x=1.
答案:1
15.设f(x)=则f(f(2))=________.  
【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=________, f=________. 
【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,
所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)===-,
即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,
所以f=,
所以f===2-3.
答案:1　2-3
17.设函数f(x)=-,[x]表示不超过x的最大整数,则f(x)的值域是________,函数y=(f(x))的值域是________.  
【解析】f(x)=-=-,
因为2x>0,所以1+2x>1,0<<1,
所以-<f(x)<;
因为[x]表示不超过x的最大整数,
所以y=(f(x))的值域为{-1,0}.
答案:　{-1,0}
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.
(2)计算:+810.75-×+log57·log725.
【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,
所以2x=16-2x,化简得2x=8,
所以x=3.
(2)原式=1+(34-3×(23+·
=1+27-12+2=18.
19.(14分)已知函数f(x)=2x-1+a(a为常数,且a∈R)恒过点(1,2).
(1)求a的值.
(2)若f(x)≥2x,求x的取值范围.
【解析】(1)f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1.
(2)由f(x)=2x-1+1=+1≥2x,得≤1,即2x-1≤1=20,即x-1≤0,解得x≤1,因此,实数x的取值范围是(-∞,1].
20.(14分)求函数y=(2x)2-2×2x+5,x∈[-1,2]的最大值和最小值.
【解析】设2x=t,因为x∈[-1,2],
所以2x=t∈
则y=t2-2t+5为二次函数,图像开口向上,对称轴为t=1,
当t=1时,y取最小值4,当t=4时,y取最大值13.
21.(14分)已知幂函数y=f(x)的图像过点(8,m)和(9,3).
(1)求m的值.
(2)若函数g(x)=logaf(x)(a>0,a≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1,求实数a的值.
【解析】(1)由题意,y=f(x)是幂函数,
设f(x)=xα,图像过点(8,m)和(9,3)
可得9α=3,所以α=,故f(x)=,
所以m=f(8)=2,故m的值为2.
(2)函数g(x)=logaf(x),即为g(x)=loga,
因为x在区间[16,36]上,所以∈[4,6],
①当0<a<1时,g(x)min=loga6,g(x)max=loga4,
由loga4-loga6=loga=1,解得a=.
②当a>1时,g(x)min=loga4,g(x)max=loga6,
由loga6-loga4=loga=1,
解得a=,综上可得,实数a的值为或.
22.(14分)(2019·宝山高一检测)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.
如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.
(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)
(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)
【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,
所以A=5·e0.06n;
当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.
(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06
=2·,
令2·>100,
可得n>22.7.
所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.
23.(14分)(2019·东莞高一检测)已知函数f(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.
又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.
(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则+a>0恒成立.
即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0).故只要a≥0即可.
(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),
最小值是f(1)=log2.
由题设log2(1+a)-log2≥2⇒.
故-<a≤-为所求.

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