2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx
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6.2.1 向量基本定理 课后篇巩固提升 夯实基础 1.四边形OABC中,CB=12OA,若OA=a,OC=b,则AB=( ) A.a-12b B.12a-b C.b+12a D.b-12a 答案D 解析由CB=OB-OC=12OA,可得OB=OC+12OA=b+12a, 所以AB=OB-OA=b+12a-a=b-12a, 故选D. 2.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为( ) A.0 B.-1 C.-2 D.-12 答案D 解析因为向量a与b共线,所以b=ma,且向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2, 即2e1-e2=m(e1+λe2),解得λ=-12,故选D. 3.设D为△ABC所在平面内一点,AD=-13AB+43AC,若BC=λDC(λ∈R),则λ=( ) A.-3 B.3 C.-2 D.2 答案A 解析若BC=λDC(λ∈R),∴AC-AB=λAC-λAD,化为AD=1λAB+λ-1λAC, 与AD=-13AB+43AC比较,可得:1λ=-13,λ-1λ=43,解得λ=-3. 则λ=-3.故选A. 4.对于向量a,b有下列表示: ①a=2e,b=-2e; ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2; ③a=4e1-25e2,b=e1-110e2; ④a=e1+e2,b=2e1-2e2. 其中,向量a,b一定共线的有( ) A.仅①②③ B.仅②③④ C.仅①③④ D.①②③④ 答案A 解析对于①,a=-b;对于②,a=-12b;对于③,a=4b;对于④,若a=λb(λ≠0),则e1+e2=λ(2e1-2e2),即(1-2λ)e1+(1+2λ)e2=0,所以1-2λ=1+2λ=0,矛盾,故④中a与b不共线. 5.已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则( ) A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 答案B 解析∵BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB, 即BD=2AB. ∴A、B、D三点共线. 故选B. 6.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若AP=ma+nb,则m+n=( ) A.12 B.23 C.67 D.1 答案C 解析由题意可得AP=2QP,QB=2QR, ∵AB=a=AQ+QB=12AP+2QR,① AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+12AP-QR=32AP-QR=b,② 由①②解方程求得AP=27a+47b. 再由AP=ma+nb可得m=27,n=47,m+n=67. 7.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点,若AP=mAB+16AC,则实数m的值为 . 答案13 解析设BP=λBD,AD=13DC⇒AD=14AC, AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+14λAC, 已知AP=mAB+16AC, 所以有1-λ=m,14λ=16⇒λ=23,m=13. 8. 如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b. (1)用a,b分别表示向量AE,BF; (2)求证:B,E,F三点共线. 解(1)∵AD=12(AB+AC)=12(a+b), ∴AE=23AD=13(a+b), ∵AF=12AC=12b, ∴BF=AF-AB=-a+12b. (2)证明:由(1)知BF=-a+12b, BE=-23a+13b=23-a+12b, ∴BE=23BF. ∴BE与BF共线. 又BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线. 9. 已知△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设OA=a,OB=b. (1)用a,b表示向量OC,DC; (2)若向量OC与OA+kDC共线,求k的值. 解(1)∵A为BC的中点,∴OA=12(OB+OC), 可得OC=2OA-OB=2a-b, 而DC=OC-OD=OC-23OB=2a-53b. (2)由(1)得OA+kDC=(2k+1)a-53kb, ∵OC与OA+kDC共线,设OC=λ(OA+kDC), 即2a-b=λ(2k+1)a+-53λkb, 根据平面向量基本定理,得2=λ(2k+1),-1=-53λk, 解之得,k=34. 能力提升 1.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=( ) A.22 B.-22 C.±22 D.8 答案C 解析∵向量8a-kb与-ka+b共线, ∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb. 又∵a,b为非零不共线向量, ∴8=-kλ,-k=λ,解得:k=±22, 故选C. 2.已知正六边形ABCDEF中,G是AF的中点,则CG=( ) A.58CE+34DA B.23CE+56DA C.34CE+58DA D.56CE+23DA 答案C 解析作出图形如下图所示,设直线AD,CF相交于点O,则点O为这两条线段的中点, 由图形可知,CB=OA=OF+FA=-AB-AF, 所以,CG=CB+BA+AG=-AB-AF-AB+12AF=-2AB-12AF,① DA=2CB=-2AB-2AF,② CE=CD+DE=AF-AB,③ 联立②③,得DA=-2AB-2AF,CE=-AB+AF, 解得AB=-12CE-14DA,AF=12CE-14DA,代入①, 得CG=-2AB-12AF=-2-12CE-14DA-1212CE-14DA=34CE+58DA, 故选C. 3.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=( ) A.45a+25b B.25a+45b C.43a+23b D.23a+43b 答案A 解析设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=5m. 过点E作EH⊥AB于点H,则EH=2m25m=255m,EH∥AD, AH=(2m)2-255m2=455m. 所以AH=45AB,HE=25AD. 所以AE=AH+HE=45AB+25AD=45a+25b.故选A. 4.如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点.若AM=xAB,AN=yAC,试问:1x+1y是否为定值? 解设AB=a,AC=b, 则AM=xa,AN=yb, AG=12AD=14(AB+AC)=14(a+b). 所以MG=AG-AM=14(a+b)-xa=14-xa+14b,MN=AN-AM=yb-xa=-xa+yb. 因为MG与MN共线,且a,b不共线,所以有14-xy=14(-x), 即14x+14y=xy,得1x+1y=4,所以1x+1y为定值. 8- 配套讲稿:
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