2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换应用案巩固提升新人教A版必修第一册.doc

5.5.2 简单的三角恒等变换
[A　基础达标]
1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选D.cos2
＝＝＝.
2．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D．－
解析：选A.因为α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝＝.
3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.又β＝－，所以cos β＝cos＝sin＝＝，故选B.
4．若α∈，则 － 等于(　　)
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
解析：选D.因为α∈，
所以sin α≥0，cos α≤0，
则 － ＝－
＝|cos α|－|sin α|＝－cos α－sin α.
5．(2019·贵州遵义航天高级中学月考)函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选D.由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cos x)＝cos2x－cos x－1，设t＝cos x(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值，为－，所以函数f(x)的最小值为－，故选D.
6．已知sin －cos ＝，则cos 2θ＝________．
解析：因为sin－cos＝，
所以1－sin θ＝，即sin θ＝，
所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.
答案：
7．已知sin＝，则cos2＝________．
解析：因为cos
＝sin
＝sin＝，
所以cos2＝＝＝.
答案：
8．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
解析：因为3sin x－cos x
＝2
＝2sin，
因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：－
9．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝，求tan的值．
解：因为sin(270°＋α)＝，
所以cos α＝－.
又180°<α<270°，所以90°<<135°.
所以tan＝－
＝－＝－3.
10．化简：(0<α<π)．
解：因为tan ＝，
所以(1＋cos α)tan ＝sin α.
又因为cos＝－sin α，
且1－cos α＝2sin2，
所以原式＝＝
＝－.
因为0<α<π，所以0<<.
所以sin >0.
所以原式＝－2cos .
[B　能力提升]
11．已知cos·cos＝，θ∈，则sin θ＋cos θ的值是(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选C.cos·cos
＝sincos
＝sin
＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
因为θ∈，
所以2θ∈，
所以sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ＜0.
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝.
所以sin θ＋cos θ＝－.
12．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．
解析：
＝
＝＝＝.
因为sin 2θ＝，0＜2θ＜，
所以cos 2θ＝，
所以tan θ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
13．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．
解：f(x)＝sin 2x－cos 2x－2·＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin－.
(1)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)．
所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，≤2x＋≤，－≤sin≤1，
所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.
[C　拓展探究]
14．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示．因为AB为半圆的直径，

所以∠APB＝，又AB＝1，
所以PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α＝sin αcos α＋sin2α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝sin＋.
因为0＜α＜，
所以－＜2α－＜，
所以当2α－＝，
即α＝时，
S四边形ABTP取得最大值＋.

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