2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十二函数的单调性新人教B版必修第一册.doc

课时素养评价
二十二　函数的单调性

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个函数中，在(-∞，0]上为减函数的是 (　　)
A.f(x)=x2-2x B.f(x)=2x2
C.f(x)=x+1 D.f(x)=
【解析】选AB.在A中，f(x)=x2-2x的减区间为(-∞，1]，故A正确；在B中，f(x)=2x2的减区间为(-∞，0]，故B正确；
在C中，f(x)=x+1在R上是增函数，故C错误；
在D中，f(x)=中，x≠0，故D错误.
2.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且f(2)=3，则满足f(2x-3)<3的x的取值范围是 (　　)
A. B.
C.(-∞，3) D.
【解析】选D.由题意，f(2x-3)<f(2)，
因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，
则0<2x-3<2，解得<x<.
3.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是 (　　)
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
【解析】选D.根据题意，依次分析选项：
对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)=x，则y=-=-，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，
则对于任意的x1，x2∈R，
设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，对于y=-f(x)，则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0，则y=-f(x)在R上为减函数，D正确.
4.可推得函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是 (　　)
A.a=0 B.
C. D.
【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上，开口向上，对称轴x=-=，
要使f(x)在区间[1，2]上为增函数，则
若a<0，图像开口向下，要求>2，显然不可能，
所以函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数f(x)=x2-3|x|+2的单调减区间是________，最小值为________. 
【解析】化简函数为：f(x)=
当x>0时，函数在区间为减函数，在区间上为增函数，作出图像如图所示，

由图像不难得出，函数的单调减区间为和；
最小值为f=-+2=-.
答案：和　-
6.已知函数y=f(x)是定义在区间(-2，2)上的减函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是________. 
【解析】由题意得：
解得-<m<.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=，
(1)画出f(x)的图像.
(2)写出f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)函数f(x)=
的图像如图所示：

(2)f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[2，5].
8.(14分)已知函数f(x)=ax+(a，b是常数)，满足f(1)=3，f(2)=.
(1)求a，b的值.
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用定义证明.
【解析】(1)因为f(1)=3，f(2)=，
所以解得：
故a=2，b=1.
(2)由(1)得f(x)=2x+，任取x1，x2∈且x1<x2，则x1-x2<0，
那么f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-
=(x1-x2)，
因为0<x1<x2<，
所以x1x2<，2-<0，
又x1-x2<0，
故f(x1)-f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
故f(x)在递减.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)设函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，则 (　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)
【解析】选D.因为a2+1-a=+>0，所以a2+1>a，又因为函数f(x)在
(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a2+1)<f(a).
2.(4分)若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围
是 (　　)

A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
【解析】选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3=
所以函数f(x)=2|x-a|+3在区间[a，+∞)上是增函数.在(-∞，a)上是减函数，又f(x)在[1，+∞)上不单调，
所以a>1，所以a的取值范围是(1，+∞).
3.(4分)已知函数y=-x2+4ax在区间[-1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是________.  
【解析】根据题意，函数y=-x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[-1，2]上单调递减，则2a≤-1，所以a≤-，即a的取值范围为.
答案：
4.(4分)f(x)=在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________.  
【解析】因为f(x)为R上的减函数，所以x≤1时，f(x)递减，即a-4<0①，x>1时，f(x)递减，即a>0②，且(a-4)×1+5≥2a③，联立①②③解得，0<a≤1.
答案：(0，1]
5.(14分)已知函数f(x)=，且f(1)=3，f (2)=.
(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式.
(2)判断f(x)在区间[1，+∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明.
【解析】(1)由⇒⇒则f(x)=.
(2)任设1≤x1<x2，f(x1)-f(x2)
=-=(x1-x2)·，
因为x1<x2所以x1-x2<0，
又因为x1≥1，x2>1，
所以x1x2>1，2x1x2>2>1，
即2x1x2-1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，
故f(x)在[1，+∞)上是增函数.

1.已知函数f(x)=的增区间为[-1，+∞)，则实数a的取值范围是________.  
【解析】当x<0时，f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1，
当-1≤x<0时，函数f(x)为增函数，
当x≥0时，f(x)为增函数，要使函数在[-1，+∞)上是增函数，则满足
f(0)=0+a≥-3，即a≥-3.
答案：[-3，+∞)
2.已知函数f(x)=mx++(m，n是常数)，且f(1)=2，f(2)=.
(1)求m，n的值.
(2)当x∈[1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明.
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立，求实数x的取值范围.
【解析】(1)因为f(1)=m++=2，
f(2)=2m++=， 所以
(2)设1≤x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=x1++-
=(x1-x2)
= (x1-x2).
因为1≤x1<x2，
所以x1-x2<0，x1x2>1，
所以2x1x2>1，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
所以f(x)在[1，+∞)上单调递增.
(3)因为1+2x2≥1，x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，
所以 只需1+2x2>x2-2x+4，
所以x2+2x-3>0，所以x<-3或x>1.

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