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2019_2020学年新教材高中数学第4章指数对数函数与幂函数4.6函数的应用二课时10函数的应用二练习含解析新人教B版必修第二册.doc
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课时10 函数的应用(二) 知识点一 指数函数模型 1.某单位职工工资经过六年翻了三番,则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考:=1.41,=1.73,=1.44,=1.38) A.38% B.41% C.44% D.73% 答案 B 解析 设年平均增长率为p,由题意得(1+p)6=23,1+p==1.41,∴p=0.41.故选B. 2.某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln 2 1024 解析 当t=0.5时,y=2,∴2=e.∴k=2ln 2. ∴y=e2tln 2.∴当t=5时,y=e10ln 2=210=1024. 知识点二 对数函数模型 3.载人飞船是通过火箭发射的.已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y=k[ln (m+x)-ln (m)]+4 ln 2(其中k≠0).当燃料重量为(-1)m t时,该火箭的最大速度为4 km/s. (1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式; (2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t,则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t,取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道? 解 (1)由题意,得4=k{ln [m+(-1)m]-ln (m)}+4ln 2,解得k=8, 所以y=8[ln (m+x)-ln (m)]+4ln 2=8ln . (2)由已知,得M=m+x=479.8,则m=479.8-x. 将y=8代入(1)中所得式中,得8=8ln , 解得x≈303.3. 所以应装载大约303.3 t燃料,才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道. 知识点三 幂函数模型 4.2017年某地官方数字显示:该地区人口约有60万,但其人口总数在过去40年内翻了一番,问该地区每年人口的平均增长率是多少? 以下数据供计算时使用: 真数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数lg N 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010 解 设该地区每年人口的平均增长率为x,n年前的人口数为y,则y·(1+x)n=60,则当n=40时,y=30,即30(1+x)40=60. ∴(1+x)40=2,两边取对数,则40lg (1+x)=lg 2, 则lg (1+x)=≈0.007526, ∴1+x≈1.017,解得x=1.7%. 易错点 忽视指数与对数的运算方法而致错 5.如图所示,桶1中的水按一定规律流入桶2中,已知开始时桶1中有a升水,桶2是空的,t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1=ae-nt(其中n是常数,e是自然对数的底数).假设在经过5分钟后,桶1和桶2中的水恰好相等.求: (1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式. (2)经过多少分钟,桶1中的水是升? 易错分析 本题容易出现因忽视指数与对数的关系,不能充分应用指数式与对数式的互化而致误. 正解 (1)∵桶2中的水是从桶1中流出的,而开始时桶1中的水是a升,又满足y1=ae-nt, ∴桶2中的水与t的函数关系式是y2=a-ae-nt. (2)∵t=5时,y1=y2, ∴ae-5n=a-ae-5n,解得2e-5n=1,n=ln 2. ∴y1=ae. 当y1=时,有=ae,解得t=15. ∴经过15分钟桶1中的水是升. 一、选择题 1.某公司为适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案 D 解析 由题意分析,符合对数型函数的特点. 2.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( ) A.10天 B.15天 C.19天 D.2天 答案 C 解析 当荷叶生长20天时,长满水面,所以生长19天时,荷叶覆盖水面面积的一半. 3.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693)( ) A.1.78 B.2.77 C.2.89 D.4.40 答案 B 解析 由题意可知50=10+(90-10)e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2=-0.693,解得t≈2.77. 4.某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( ) A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100 答案 C 解析 由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时,误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大.综上,只有C中的函数误差最小.故选C. 5.向高为H的水瓶内注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是( ) 答案 B 解析 取OH的中点(如图)E作h轴的垂线,由图知当水深h达到水瓶高度一半时,体积V大于一半.易知B符合题意. 二、填空题 6.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车.(精确到1小时,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) 答案 5 解析 设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-0.25)n.根据题意,有0.3(1-0.25)n≤0.09,在不等式两边取常用对数,则有nlg=n(lg 3-2lg 2)≤lg 0.3=lg 3-1,将已知数据代入,得n(0.48-0.6)≤0.48-1,解得n≥=4,故至少经过5小时才能开车. 7.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位: ℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 答案 24 解析 依题意得两式相除可得e22k=,故e11k=,故e33k+b=e33k·eb=192×3=24,即该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时. 8.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 答案 (1)y= (2)0.6 解析 (1)因为药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比, 则设函数为y=kt(k>0),将点(0.1,1)代入y=kt, 可得k=10,所以y=10t; 将点(0.1,1)代入y=t-a,得a=0.1. 故所求的函数关系式为y= (2)由t-0.1=0.25=,得t=0.6. 即至少要经过0.6小时后,学生才能回到教室. 三、解答题 9.某种海洋生物身体的长度f(t)(单位:米)与生长年限t(单位:年)满足如下的函数关系:f(t)=(设该生物出生时t=0). (1)需经过多长时间,该生物的身长超过8米? (2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米?并据此判断,这2年中哪一年长得更快. 解 (1)由f(t)=≥8,即2-t+4≤, 解得t≥6,即该生物6年后身长超过8米. (2)由于f(3)-f(2)=-=, f(4)-f(3)=-=, 所以,第3年长了米,第4年长了米,因为>,所以第4年长得快. 10.一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,该森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)从今年算起最多还能砍伐多少年? 解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1), 则a(1-x)10=a,即(1-x)10=, 解得x=1-. (2)设经过m年该森林剩余面积为原来的, 则a(1-x)m=a, 即=,=,解得m=5, 故到今年为止,该森林已砍伐了5年. (3)设从今年开始,以后砍了n年, 则n年后剩余面积为a(1-x)n. 令a(1-x)n≥a, 即(1-x)n≥,≥, ≤,解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年. - 7 -- 配套讲稿:
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