2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十三基本不等式的应用新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 十三
　基本不等式的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2,则对于+ (　　)
A.取得最值时a=　　　　 B.最大值是5
C. 取得最值时b= D.最小值是
【解析】选A、D.因为a+b=2,令y=+=+=+++2≥+
2=,当且仅当=且a+b=2,即a=,b=时,取“=”.
2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则 (　　)
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,
所以1+x≤1+,故x≤.
3.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为 (　　)
A.8　　　　 B.4　　　 　C.2　 　　　D.0
【解析】选A.由x+2y-xy=0,得+=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8.
4.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是 (　　)
A. B.　
C. D.
【解析】选A.因为对任意x>0,≤a恒成立,所以对x∈(0,+∞),a≥,
又因为x∈(0,+∞),所以=≤=,
当且仅当x=1时等号成立,所以a≥.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知一次函数y=-x+1的图象分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是________,取得最大值时a的值为________. 
【解析】因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b= 2(1-b)·b≤2·=.
当且仅当1-b=b,即b=时等号成立,此时a=1,因此当b=,a=1时,ab的最大值为.
答案:　1
6.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________. 
【解析】设每次购买该种货物x吨,则需要购买次,则一年的总运费为×2=(万元),一年的总存储费用为x万元,所以一年的总运费与总存储费用为+x≥2=40(万元),当且仅当=x,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.
答案:20
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8.
(2)≥9.
【证明】(1)因为a+b=1,a>0,b>0,
所以++=2.
所以+=+=2++≥2+2=4,
所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).
(2)方法一:因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+=1+=2+,
同理1+=2+,
所以=
=5+2≥5+4=9.
所以≥9(当且仅当a=b=时等号成立).
方法二:=1+++,
由(1)知,++≥8,
故=1+++≥9.当且仅当a=b=时取等号 .
8.(14分)如图,某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

【解析】设矩形的一边长为 x米,则另一边长为米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为米.
由得4<x<400,
所以其面积S=(x-4)·=808-≤808-2=808-160=648(平方米).
当且仅当2x=,即x=40∈(4,400)时等号成立.
因此当矩形温室的两边长分别为40米,20米时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 648平方米.
(15分钟·30分)
1.(4分)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 (　　)
A.大于10 g B.小于10 g
C.大于等于10 g D.小于等于10 g
【解析】选A.设两臂长分别为a,b,两次放入的黄金数是x,y,依题意有ax=5b, by=5a,所以xy=25.因为≥,所以x+y≥10,又a≠b,所以x≠y.所以x+y>10.即两次所得黄金数大于10 g.
2.(4分)已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若x=,y=是方程y=xα的解,则α= (　　)
A.-1 B. C.2 D.3
【解析】选B.+=(m+n)=1+++16=17++≥17+2 =25当且仅当=,且m+n=1,即m=,n=时,上式取等号,即+取得最小值时,m=,n=,所以=,得α=.
3.(4分)如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是________dm2.  

【解析】设阴影部分的高为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2.
由题意,得y=(x+4)-72=8+
2≥8+2×2=56(dm2).
当且仅当x=,即x=12 dm时等号成立.
答案:56
4.(4分)设a+b=2,b>0,则+取最小值时,a的值为________.  
【解析】因为a+b=2,所以+=+=+=++≥+
2=+1,当且仅当=时等号成立.又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=-2或b=2a,a=时,+取得最小值.
答案:-2或
5. (14分)已知正数a,b,x,y满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.
【解析】x+y=(x+y)=a+++b=10++.因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2=18,即=4.又a+b=10,所以或

1.若a>0,b>0,且a+b=1,则的最小值是 (　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】选A.=+1
=+1=+1≥+1=9.
所以当a=b=时,原式取最小值9.
2.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【解析】(1)设每件定价为x元,依题意得
x≥25×8,
整理得x2-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解,因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.
所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.

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