2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价四新人教A版必修第一册.doc

单元素养评价(四)
(第五章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在0°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是 (　　)
A.330° B.210° C.150° D.30°
【解析】选B.因为-510°=-360°×2+210°,
因此与-510°终边相同的角是210°.
2.已知sin=,那么cos α等于 (　　)
A.- B.- C. D.
【解析】选C.因为sin=cos α=,
所以cos α=.
3.函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选B.因为f(x)=cos 2x+6cos
=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2+,又sin x∈[-1,1],
所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.
4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是 (　　)

A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
【解析】选D.由图象可得T=π-π,
所以T=π,则ω=2.
又图象过点,
所以2sin=2,
又因为|φ|<,
所以φ=-,
所以f(x)=2sin.
5.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.b>a>c B.a>b>c
C.b>c>a D.a>c>b
【解析】选A.a=tan=-tan=-,
b=cosπ=cos=cos=,
c=sin=sin
=-sin=-,
所以b>a>c.
6.化简4cos 50°-tan 40°等于 (　　)
A. B.
C. D.2-1
【解析】选C.4cos 50°-tan 40°
=
==
===.
7.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是 (　　)

【解析】选B.取x=0,则y=1,排除C,D;取x=,则y=0,排除A.
8.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 (　　)
A.y=cos B.y=sin
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x
【解析】选A.y=cos=-sin 2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故A正确;y=sin=cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故B不正确;C,D均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C,D不正确.
9.被称为“华东第一高”的济南动物园大摩天轮,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若从最低点开始计时,则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为 (　　)
A.41米 B.43米
C.78米 D.118米
【解析】选B.摩天轮转轴离地面高160-=82(米),ω==,摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h=82-78cos,当摩天轮运行5分钟时,其离地面高度为h=82-78cos=82-78×=43(米).
10.函数f(x)=Asin ωx(ω>0),对任意x有f=f,且f=-a,那么f等于 (　　)
A.a B.2a C.3a D.4a
【解析】选A.由f=f,
得f(x+1)=f=f=f(x),
即1是f(x)的周期.且f(x)为奇函数,
则f=f=-f=a.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sin α·cos α=,则a的值为
(　　)

A.4 B.-4
C. D.-
【解析】选B、D.由三角函数定义可知,
r=,
sin α=,cos α=,
sin α·cos α==得a=-4或-.
12.将函数y=sincos的图象沿x轴向右平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可能是 (　　)
A.- B.- C. D.
【解析】选A、B、D.y=sincos=sin(2x+φ),向右平移个单位后,得到y=sin=sin为偶函数,所以φ-=+kπ,k∈Z;
所以φ=+kπ,k∈Z,
当k=0时,φ=;当k=-1时,φ=-;
当k=-2时,φ=-;故选A、B、D.
13.函数y=sin 2x-cos 2x的图象的对称轴方程为 (　　)

A.x= B.x=-
C.x= D.x=
【解析】选A、B、C.y=sin 2x-cos 2x=2sin,
令2x-=+kπ,k∈Z;得x=+π,k∈Z;当k=0时,x=;当k=1时,x=;
当k=-1时,x=-.
三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)
14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是__________弧度,扇形面积是________.  
【解析】圆心角α===,
扇形面积S=lr=×12×8=48.
答案:　48
15.设f(n)=cos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)等于________. 
【解析】f(n)=cos的周期T=4,
且f(1)=cos=cos=-,
f(2)=cos=-,
f(3)=cos=,
f(4)=cos=.
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)
=f(1)+f(2)+f(3)=-.
答案:-
16.若tan α=,则tan=________,tan 2α=________.  
【解析】由题意知tan===,tan 2α===.
答案:　
17.给出下列4个命题:
①函数y=的最小正周期是;②直线x=是函数y=2sin的一条对称轴;③若sin α+cos α=-,且α为第二象限角,则tan α=-;④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是________.(写出所有正确命题的序号)  
【解析】函数的最小正周期是,故①正确.
对于②,当x=π时,2sin
=2sinπ=-2,故②正确.
对于③,由(sin α+cos α)2=得2sin αcos α=-,α为第二象限角,
所以sin α-cos α==,
所以sin α=,cos α=-,
所以tan α=-,故③正确.
对于④,函数y=cos(2-3x)的最小正周期为,而区间长度>,显然④错误.
答案:①②③
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)已知0<α<,sin α=.
(1)求tan α的值.
(2)求的值.
【解析】(1)因为0<α<,sin α=,
所以cos α=,故tan α=.
(2)=
===4.
19.(14分)已知α是第四象限角,f(α)=.
(1)化简f(α).
(2)若cos=,求f(α)的值.
【解析】(1)f(α)=
=
==-cos α.
(2)因为cos=cos=-sin α=,所以sin α=-.因为α是第四象限角,
所以cos α=,所以f(α)=-cos α=-.
20.(14分)已知f(x)=2sin+a+1(a为常数).
(1)求f(x)的单调递增区间.
(2)若当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.
【解析】(1)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)当x∈时,2x+∈,故当2x+=,即x=时,f(x)有最大值a+3=4,所以a=1.
21.(14分)(2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tan α=,cos (α+β)=-.
(1)求cos 2α的值.
(2)求tan(α-β)的值.
【解析】(1)因为tan α=,所以tan α==,所以sin α=cos α.因为
sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,
因此cos 2α=2cos2 α-1=-.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π),
又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan (α+β)=-2.因为tan α=,
所以tan 2α==-,
因此,tan(α-β)=tan [2α-(α+β)]
==-.
22.(14分)设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.
(1)求ω和φ的值.
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.

(3)若f(x)>,求x的取值范围.
【解析】(1)因为函数的最小正周期T==π,所以ω=2.
因为f=cos=cos=-sin φ=,所以sin φ=-.又-<φ<0,所以φ=-.
(2)由(1)知f(x)=cos,列表如下:
x
0

π
2x-
-
0

π

f(x)

1
0
-1
0

描点、连线得到图象如图所示:

(3)由题意得cos>,
所以2kπ-<2x-<2kπ+,k∈Z,2kπ+<2x<2kπ+,k∈Z,
所以kπ+<x<kπ+,k∈Z,
即x的取值范围是
.
23.(14分)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值.
(2)讨论f(x)在上的单调性.
【解析】(1)f(x)=sinsin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=
sin 2x-cos 2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.
(2)当x∈时,0≤2x-≤π,
从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,
f(x)单调递增,当≤2x-≤π,
即≤x≤时,f(x)单调递减,
综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.

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