2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示课时作业8平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示新人教A版必修第二册.doc

课时作业8　平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示

知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1.给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.

答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5)
解析　解法一：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
解法二：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．
3．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．

①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
答案　①③④
解析　i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确.
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
4.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则A可以表示为(　　)
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案　C
解析　记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则B等于(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
答案　B
解析　∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)，故选B.
知识点三 平面向量加、减坐标运算的应用
6.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，O＝A，则C点的坐标为(　　)
A．(－2,1) B．(1，－2)
C．(2，－1) D．(－1,2)
答案　D
解析　由题意可知A(4,2)，B(3,4)，A＝O－O＝－i＋2j.∵O＝A，∴O＝－i＋2j，∴C(－1,2)．
7．已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
解　设点D的坐标为(x，y)，
①当平行四边形为ABCD时，＝，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴∴∴D(0，－1)；
②当平行四边形为ABDC时，同①可得D(2，－3)；
③当平行四边形为ADBC时，同①可得D(6,15)．
综上所述，点D的坐标可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．

一、选择题
1．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝(　　)
A．(0,5) B．(4,2)
C．(2,5) D．(2,1)
答案　B
解析　＝－＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，故选B.
2．已知＝(－2,4)，则下面说法正确的是(　　)
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
答案　D
解析　由任一向量的坐标的定义可知，当A点是原点时，B点的坐标是(－2,4)．
3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为(　　)
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
答案　A
解析　＝(2,0)，由于向量a与A相等，
所以解得x＝－1.
4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案　A
解析　设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，
∴
解得∴C(－4，－2)，又B(3,2)，
∴＝(－7，－4)．
5．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b(　　)
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
答案　C
解析　因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
二、填空题
6．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．
答案　(1，－2)
解析　不妨设i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)．
7．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则的坐标为________．
答案　(2，6)
解析　设点A(x，y)，则x＝||cos60°＝4cos60°＝2.y＝||sin60°＝4sin60°＝6.
即A(2，6)，∴＝(2，6)．
8．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.

答案　(1，－1)　(1,1)　(－1,1)
解析　根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又＝(－1，－1)，O为坐标原点，
∴A(－1，－1)，∴B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)，
∴＝(1，－1)，＝(1,1)，＝(－1,1)．
三、解答题
9．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b.
解　设a＝(m，n)，b＝(p，q)，
则有解得
所以a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．
10．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，E的坐标．
解　如图，描出点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5，6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)，
分别作出向量，，.
易知＝(2,4)，＝(－3,4)，＝(－3，－4)．

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