2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数余弦函数的性质第2课时正弦函数余弦函数的单调性与最值课后课时精练新人教A版必修第一册.doc

第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为(　　)
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,0] D．[0,2]
答案　D
解析　当sinx≥0时，2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；
y＝2sinx,0≤y≤2.
当sinx<0时，2kπ＋π<x<2π＋2kπ，k∈Z，y＝0.
综合可知，函数的值域为[0,2]．
2．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，又－π≤x≤0，所以－≤x≤0.
3．下列函数中，周期为π，且在上单调递减的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案　A
解析　因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin2x在上单调递增，故B不符合，故选A.
4．已知sinα＞sinβ，α∈，β∈，则(　　)
A．α＋β＞π B．α＋β＜π
C．α－β≥－ D．α－β≤－
答案　A
解析　∵β∈，∴π－β∈，且sin(π－β)＝sinβ.∵y＝sinx在x∈上单调递增，∴sinα＞sinβ⇔sinα＞sin(π－β)⇔α＞π－β⇔α＋β＞π，故选A.
5．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
答案　A
解析　逐一验证，由函数f(x)的最小正周期为π，故排除B；
又∵cos＝cos＝0.故y＝cos的图象不关于直线x＝对称，故排除C；对于D，易知函数在区间上单调递减，故排除D.只有A项全符合．
二、填空题
6．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．
答案　2π

解析　∵值域为，由y＝sinx的图象，知b－a的最大值为－＝，最小值为－＝，∴＋＝2π.
7．函数y＝的最大值为________．
答案　3
解析　由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.
8．函数y＝sin2x＋2cosx在区间上的最小值为－，则θ的取值范围是________．
答案　
解析　y＝－cos2x＋2cosx＋1.令t＝cosx，则y＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.由此函数的最小值为－，得－≤t≤1，即cosθ≥－，解得－≤θ≤.又θ＞－，故θ∈.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解　(1)令－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ，
可得－＋kπ≤x≤－＋kπ，
故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)当3x＋＝－π＋2kπ，
即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为－2.
10．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈.
解　(1)当x∈时，
2x－∈，由函数图象知，
f(x)＝sin∈＝.
所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3
＝2sin2x＋2sinx＋1
＝22＋.
因为x∈，
所以≤sinx≤1.
当sinx＝1时，ymax＝5；
当sinx＝时，ymin＝.
所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为5，.
B级：“四能”提升训练
1．已知函数y＝a－bcos(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4asin的最小值并求出对应x的集合．
解　(1)cos∈[－1,1]，
∵b>0，∴－b<0.
∴
∴a＝，b＝1.
(2)由(1)知g(x)＝－2sin，
∵sin∈[－1,1]，∴g(x)∈[－2,2]，
∴g(x)的最小值为－2，此时，sin＝1.
对应x的集合为.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，△ABC的内角A满足f(cosA)≤0，求角A的取值范围．
解　①当0＜A＜时，cosA＞0.
由f(cosA)≤0＝f，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，得
0＜cosA≤，
解得≤A＜.
②当＜A＜π时，cosA＜0.
∵f(x)为R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，
f＝－f＝0，
∴由f(cosA)≤0＝f，
得cosA≤－，
∴≤A＜π.
③当A＝时，cosA＝0，
∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
∴f(0)≤0成立．
综上所述，角A的取值范围是∪.

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