2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十一函数的最大值最小值新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 二十一
　函数的最大值、最小值
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 (　　)
A.42,12
B.42,-
C.12,-
D.无最大值,最小值为-
【解析】选D.f(x)=x2+3x+2
=-,
因为-5<-<5,
所以无最大值,f(x)min=f=-.
2.已知f(x)=-,则 (　　)
A.f(x)max=,f(x)无最小值
B.f(x)min=1,f(x)无最大值
C.f(x)max=1,f(x)min=-1
D.f(x)max=1,f(x)min=0
【解析】选C.f(x)=- 的定义域为[0,1],
因为f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)max=1,f(x)min=-1.
3.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的四种说法正确的是 (　　)
A.有最小值,最小值为1
B.没有最小值
C.有最大值,最大值为10
D.没有最大值
【解析】选A、D.f(x)=x+|x-1|=
作出函数的图象如图所示,

由图象可知,f(x)的最小值为1,没有最大值.
4.设c<0,f(x)在区间[a,b]上单调递减,下列说法中正确的是 (　　)
A.f(x)在区间[a,b]上有最小值f(a)
B.在[a,b]上有最小值f(a)
C.f(x)-c在[a,b]上有最小值f(a)-c
D.cf(x)在[a,b]上有最小值cf(a)
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:
对于A,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
则其在区间[a,b]上有最小值f(b),A错误;
对于B,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
而函数在[a,b]上单调性无法确定,
其最小值无法确定,B错误;
对于C,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
f(x)-c在区间[a,b]上也单调递减,
其最小值为f(b)-c,C错误;
对于D,f(x)在区间[a,b]上单调递减,且c<0,
则cf(x)在区间[a,b]上单调递增,
则在[a,b]上有最小值cf(a),D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若一次函数y=f(x)在区间[-1,2]上的最小值为1,最大值为3,则y=f(x)的解析式为____________. 
【解析】设f(x)=kx+b(k≠0),
当k>0时,即
所以f(x)=x+;
当k<0时,即
所以f(x)=-x+,
所以f(x)的解析式为f(x)=x+或f(x)=-x+.
答案:f(x)=x+或f(x)=-x+
6.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是________,最大值是________. 
【解析】因为函数y=f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,所以f(x)的最小值是f(-2),又因为f(-4)<f(6),
所以f(x)的最大值是f(6).
答案:f(-2)　f(6)
三、解答题(共26分)
7.(12分)求函数y=f(x)=在区间[1,2]上的最大值和最小值.
【解题指南】先证明函数y=在区间[1,2]上的单调性,然后求最大值和最小值.
【解析】∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=
=,
因为1≤x1<x2≤2,
所以2<x1+x2<4,
即6<3(x1+x2)<12,
又1<x1x2<4,x2-x1>0,
故f(x1)-f(x2)>0.
所以函数y=在区间[1,2]上单调递减,
ymax=f(1)=-,ymin=f(2)=-4.
8.(14分)已知函数f(x)=,x∈[2,9].
(1)判断f(x)的单调性,并证明你的结论.
(2)求f(x)的最大值,最小值.
【解析】(1)f(x)在[2,9]上单调递减.
证明:∀x1,x2∈[2,9],且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=,
因为2<x1<x2<9,
所以x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在[2,9]上单调递减.
(2)由f(x)在[2,9]上单调递减,所以当x=2时,f(x)取最大值f(2)=2;
当x=9时,f(x)取最小值f(9)=.
(15分钟·30分)
1.(4分)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为 (　　)

A.90万元　 B.60万元
C.120万元　 D.120.25万元
【解析】选C.设公司在甲地销售x台,则在乙地销售(15-x)台,公司获利为
L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30
=-+30+,所以当x=9或10时,L最大为120万元.
2.(4分)已知y=ax+1,在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是
(　　)

A.2　 B.-2　 C.2或-2　 D.0
【解析】选C.①当a=0时,y=ax+1=1,不符合题意;
②当a>0时,y=ax+1在[1,2]上单调递增,
则(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;
③当a<0时,y=ax+1在[1,2]上单调递减,
则(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.
综上,得a=±2.
3.(4分)函数f(x)=-3x在区间上的最大值为________.  
【解析】因为y=在区间上单调递减,y=-3x在区间上单调递减,所以函数f(x)=-3x在区间上单调递减,
所以f(x)max=f(2)=-3×2=-4.
答案:-4
4.(4分)函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为________.  
【解析】函数f(x)=x(|x|-2),
当x≥0时,f(x)=x2-2x;
当x<0时,f(x)=-2x-x2.
作出y=f(x)的图象,

由图象可得x>0时,x2-2x=1,解得x=1+;
当x<0时,-2x-x2=-1,解得x=-1-,
即有f(x)在[-1-,1+]内的最大值为1,最小值为-1,故n-m的最大值为1+-(-1-)=2+2.
答案:2+2
5.(14分)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=-,
对称轴为x=-<3,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以当x∈[-2,3]时,
f≤f(x)≤f(3),
f(3)=15,f=-,
所以当a=2,x∈[-2,3]时,该函数的值域为.
(2)函数f(x)=x2+(2a-1)x-3的对称轴是x=-a.
当-a≥1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(-1)=-2a-1=1,所以a=-1合题意;
当-a≤1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(3)=6a+3=1,所以a=-合题意;
所以实数a的值为-或-1.

1.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.  
【解析】设f(x)=x2+mx+4,则f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-.
(1)当-≤1时,即m≥-2时,满足f(2)=4+2m+4≤0,
所以m≤-4,又m≥-2,所以此时无解.
(2)当-≥2,即m≤-4时,需满足f(1)=1+m+4≤0,
所以m≤-5,又m≤-4,所以m≤-5.
(3)当1<-<2,即-4<m<-2时,
需满足此时无解.
综上所述,m≤-5.
答案:m≤-5
2.已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R),设f(x)在[-1,1]上的最大值为g(a),
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m,n,使得g(a)的定义域为[m,n],值域为[5m,5n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为函数f(x)图象的对称轴为x=-,
所以当-≤0,即a≥0时,
g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2;
当->0,即a<0时,
g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.
所以g(a)=
(2)假设存在符合题意的实数m,n,
则由(1)可知,当a∈R时,g(a)∈[2,+∞).
所以若a∈[m,n],有g(a)∈[5m,5n],
则0≤m<n,所以g(a)=a2+a+2在[m,n]上单调递增.
所以
所以

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