2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十九棱柱棱锥棱台的结构特征新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十九
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.下列说法中，正确的是 (　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
【解析】选B.由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错.
2.(多选题)下列关于棱柱的说法中，正确的是 (　　)
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
【解析】选A、B、D.显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确.
3.如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是 (　　)

A.①是棱台
B.②是圆台
C.③是棱锥
D.④不是棱柱
【解析】选C.题图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；题图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；题图③中的几何体是棱锥.题图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱.
4.下面图形中是正方体展开图的是 (　　)

【解析】选A.由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图；B折叠后第一行两个面无法折起来，而且还少一个面，故不能折成正方体；C缺少一个正方形；D折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不能折成正方体.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.下列说法中正确的有________.(填序号) 
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可作为底面；
③三棱锥的任何一个面都可作为底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点.
【解析】结合有关多面体的定义及性质判断.对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义.
答案：③④
6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________. 

【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，沿棱DD1，D1C1，C1C剪开，正方形DCC1D1向北方向；沿棱AA1，A1B1，B1B剪开，正方形ABB1A1向南方向，然后将正方体沿BC剪开并展开，则标“△”的面是正方形DCC1D1，方位是北.

答案：北
三、解答题(共26分)
7.(12分)试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.

(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.
(3)三棱柱.
【解析】(1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).

(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).

(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).

8.(14分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，BB1=5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线.
【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：

(1)若将C1D1，A1D1，B1C1剪开，使点A，B，C1，D1在一个平面内，可求得AC1===4.
(2)若将AD，AB，CD剪开，使点A，D，C1，B1在一个平面内，可求得AC1===3.
(3)若将CC1，B1C1，BC剪开，使点A，A1，C1，C在一个平面内，可求得AC1==.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
(15分钟·30分)
1.(4分)在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有 (　　)
A.20条 B.15条 C.12条 D.10条
【解析】选D.如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5=10(条).

2.(4分)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 (　　)

A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
【解析】选A.根据图可判断为底面是梯形或三角形的棱柱.
3.(4分)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________.  

①这是一个六面体；②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
【解析】①正确.因为有六个面，属于六面体的范围.②错误.因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.③正确.如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确.
如图所示.

答案：①③④⑤
4.(4分)一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=________.  

【解析】如图所示，折成正方体，很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC=90°.

答案：90°
【加练·固】
　　 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为，底面边长为，Q是侧棱PA的中点，一条折线从A点出发，绕侧面一周到Q点，则这条折线长度的最小值为________. 

【解析】沿着棱PA把三棱锥展开成平面图形，所求的折线长度的最小值就是线段AQ的长度，因为点Q是PA′的中点，所以在展开图中，AQ=.

答案：
5.(14分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.

(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=a2.

1.正方体的截面不可能是
①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形.下述选项正确的是 (　　)

A.①②⑤ B.①②④
C.②③④ D.③④⑤
【解析】选B.正方体的截面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形(证明略)；对四边形来讲，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形(证明略)；对五边形来讲，不可能是正五边形(证明略)；对六边形来讲，可以是六边形(正六边形).
2.正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，求它的斜高.
【解析】如图所示，O1，O分

别为上、下底面的中心，D1，D分别为A1B1和AB的中点，
则O1D1=，OD=，OO1=2.
在直角梯形O1D1DO中，
DD1===，
即该正三棱台的斜高为.

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