2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十六对数函数的图象和性质新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（二十六） 对数函数的图象和性质
A级——学考水平达标练
1．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.44＜log0.46　　　　　 　B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67
解析：选D　因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44＞log0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C错．
2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：选D　∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，
∴c＞a＞b.故选D.
3．函数f(x)＝log2(1－x)的图象为(　　)

解析：选A　函数的定义域为(－∞，1)，排除B、D，函数f(x)＝log2(1－x)在定义域内为减函数，排除C，故A正确．
4．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　)
A．2 B．
C．2或 D．3
解析：选B　法一：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，故y＝logax的图象过点(，a)，则a＝loga＝.
法二：∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，∴函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(a，)，∴aa＝＝a，即a＝.
5．若点(a，b)在函数f(x)＝ln x的图象上，则下列点中，不在函数f(x)图象上的是(　　)
A. B．(a＋e,1＋b)
C. D．(a2,2b)
解析：选B　因为点(a，b)在f(x)＝ln x的图象上，所以b＝ln a，所以－b＝ln ，1－b＝ln ，2b＝2ln a＝ln a2，故选B.
6．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．
解析：由2－x＞0，得x＜2.
又函数y＝2－x，x∈(－∞，2)为减函数，
∴函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
7．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
解析：由得－2＜x＜4，因此函数f(x)的定义域为(－2,4)．
f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)
＝ln[－(x－1)2＋9]，
设u＝－(x－1)2＋9，又y＝ln u是增函数，
u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是减函数，
因此f(x)的单调递减区间为(1,4)．
答案：(1,4)
8．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：令u＝2－ax，则y＝logau，因为a＞0，所以u＝2－ax递减，由题意知y＝logau在[0,1]内递增，所以a＞1.又u＝2－ax在x∈[0,1]上恒大于0，所以2－a＞0，即a＜2.综上，1＜a＜2.
答案：(1,2)
9．比较下列各组数的大小
(1)log0.13与log0.1π；
(2)log45与log65；
(3)3log45与2log23；
(4)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a＞0且a≠1)．
解：(1)∵函数y＝log0.1x是减函数，π>3，
∴log0.13>log0.1π.
(2)法一：∵函数y＝log4x和y＝log6x都是增函数，
∴log45>log44＝1，log65<log66＝1.
∴log45>log65.
法二：画出y＝log4x和y＝log6x在同一坐标系中的图象如图所示，
由图可知log45＞log65.
(3)∵3log45＝log453＝log4125＝＝log2125＝log2，2log23＝log232＝log29，
又∵函数y＝log2x是增函数，>9，
∴log2>log29，即3log45>2log23.
(4)∵a＋2＜a＋3，
故①当a＞1时，loga(a＋2)＜loga(a＋3)；
②当0＜a＜1时，loga(a＋2)＞loga(a＋3)．
10．已知f(x)＝|lg x|，且＞a＞b＞1，试比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
解：先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由＞a＞b＞1得：f＞f(a)＞f(b)，而f＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．∴f(c)＞f(a)＞f(b)．
B级——高考水平高分练
1．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是(　　)

解析：选A　f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上是奇函数，∴f(0)＝(k－1)a0－a0＝k－2＝0，∴k＝2.∵f(x)是减函数，∴0＜a＜1，∴g(x)＝loga(x＋k)的图象是选项A中的图象．
2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0
C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b
解析：选B　∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab<a＋b<0.
3．是否存在实数a，使函数y＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：存在．设u＝g(x)＝ax2－x，则y＝logau.假设符合条件的a值存在．
(1)当a＞1时，只需g(x)在[2,4]上为增函数，故应满足解得a＞.
∴a＞1.

(2)当0＜a＜1时，只需g(x)在[2,4]上为减函数，故应满足无解．
综上所述，当a＞1时，函数y＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数．
4．设函数f(x)＝loga，其中0＜a＜1.
(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)若f(x)＞1，求x的取值范围．
解：(1)证明：任取x1，x2∈(a，＋∞)，不妨令0＜a＜x1＜x2，g(x)＝1－，则g(x1)－g(x2)＝－＝，
∵0＜a＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，∴g(x1)－g(x2)＜0，
∴g(x1)＜g(x2)，∴g(x)为增函数，
又∵0＜a＜1，∴f(x)是(a，＋∞)上的减函数．
(2)∵loga＞1，∴0＜1－＜a，
∴1－a＜＜1.
又∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
∴a＜x＜，
∴x的取值范围是.

5．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q＝50log2.
(1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0)，则森林面积至少为多少个单位？
(2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？
解：(1)由题意，当Q＝0时，
代入关系式可得0＝50log2，解得S＝10，
因为Q随S的增大而增大，所以当Q＞0时S≥10.
所以森林面积至少有10个单位．
(2)将S＝80代入关系式，
得Q＝50log2＝150，
所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．

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