2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十七总体集中趋势的估计总体离散程度的估计新人教A版必修2.doc

课时素养评价 三十七
总体集中趋势的估计　总体离散程度的估计

(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是 (　　)
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.众数=中位数=平均数
【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50.
2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5

乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6

丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
(　　)
A.s3>s1>s2　　　　　　 B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3 D.s2>s3>s1
【解析】选B.因为s2=(++…+)-，
所以=(5×72+5×82+5×92+5×102)-8.52=，所以s1=.
同理s2=，s3=，
所以s2>s1>s3.
3.样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2-5x+4=0的两根，则这个样本的方差是 (　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1，4.
当a=1时，a，3，5，7的平均数是4；
当a=4时，a，3，5，7的平均数不是1.
所以a=1，b=4.则方差s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
4.(2019·中山高二检测)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为 (　　)

A.10万元 B.12万元
C.15万元 D.30万元
【解析】选D.由图知，9时至10时的销售额频率为0.1，所以9时至14时的销售总额为=30(万元).
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(2019·江苏高考)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________. 
【解析】=×(6+7+8+8+9+10)=8，
所以方差为×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=.
答案：
6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：
等待时
间/分钟
[0，
5)
[5，
10)
[10，
15)
[15，
20)
[20，
25]
频数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值=________. 
【解析】=(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5.
答案：9.5
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次.

(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来.
(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.
【解析】(1)列表如下：
环数
6
7
8
9
10
甲命中次数

2
2
2
乙命中次数

1

3
2
(2)=9环，=9环，=，=1.
因为=， <，
所以甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥比乙稳定.
8.(14分)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)
用水量分组
频数
频率
[0.5，2.5)
12

[2.5，4.5)

[4.5，6.5)
40

[6.5，8.5)

0.18
[8.5，10.5]
6

合计
100
1.00
(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图.
(2)估计样本的中位数是多少.
(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？
【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图如下：
用水量分组
频数
频率
[0.5，2.5)
12
0.12
[2.5，4.5)
24
0.24
[4.5，6.5)
40
0.40
[6.5，8.5)
18
0.18
[8.5，10.5]
6
0.06
合计
100
1.00

(2)设中位数为x，因为月均用水量在[0.5，4.5)内的频率是0.12+0.24=0.36，月均用水量在[0.5，6.5)内的频率是0.12+0.24+0.40=0.76，所以x∈[4.5，6.5)，则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36，解得x=5.2.所以中位数是5.2.
(3)该乡每户月均用水量估计为1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14，由5.14×1 200=6 168，知上级支援该乡的月调水量是6 168吨.

(15分钟·30分)
1.(4分)如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图.根据图中信息，下列结论正确的是 (　　)

A.1951年以来，我国的年平均气温逐年升高
B.1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高
C.2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值
D.2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值
【解析】选D.由图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C错误；2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D正确.
2.(4分)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则 (　　)

A.me=mo= B.me=mo<
C.me<mo< D.mo<me<
【解析】选D.由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分.中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me=5.5，5出现的次数最多，故mo=5，
=×[2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10]≈5.97.于是得mo<me<.
3.(4分)已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为________.  
【解析】由x1，x2，…，xn的平均数=5，得2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为2+1=2×5+1=11.
答案：11
【加练·固】
　　 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为________. 
【解析】由已知，x1，x2，x3，…，x10的方差s2=64.则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为22s2=22×64，所以其标准差为=2×8=16.
答案：16
4.(4分)某人5次上班途中所花时间(单位：min)分别为x，y，10，11，9若这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|=________.  
【解析】==10，所以x+y=20.
方差为2，则=2，
(x-10)2+(10-x)2=8，(x-10)2=4，x=8或x=12，
则y=12或y=8，所以|x-y|=4.
答案：4
【加练·固】
　　 已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=________. 
【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50，
所以x+y=20，又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10，
得x2+y2-20(x+y)=-192，
(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192，xy=96.
答案：96
5.(14分)为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如表：
天数
/天
151
～
180
181
～
210
211
～
240
241
～
270
271
～
300
301
～
330
331
～
360
361
～
390
灯管
数/只
1
11
18
20
25
16
7
2
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命.
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
【解析】(1)各组的组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).
(2)× [1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+
25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2 128.60.
故标准差为≈46.
估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222～314天之间统一更换较合适.

1.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是 (　　)

A. B. C. D.
【解析】选B.由已知y=

即y=
当日销量不少于20个时，日利润不少于96元.
当日销量为20个时，日利润为96元.
当日销量为21个时，日利润为97元.
日利润为96元的有3天，记为a，b，c，日利润为97元的有2天，记为A，B，从中任选2天有(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种情况，
其中选出的这2天日利润都是97元的有(A，B)1种情况，所以所求概率为.
2.已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2=(+++-16)，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为________.  
【解析】设正数x1，x2，x3，x4的平均数为，则s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2]，得s2=(+++)-，又已知s2=(+++-16)=(+++)-4，所以=4，所以=2，所以[(x1+2)+(x2+2)+(x3+2)+(x4+2)]=+2=4.
答案：4
3.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19，求y与x的函数解析式.
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值.
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【解析】(1)当x≤19时，y=3 800；
当x>19时，y=3 800+500(x-19)
=500x-5 700，
所以y与x的函数解析式为
y=(x∈N*).
(2)由题图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

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