2019_2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积第1课时柱锥台的表面积和体积应用案巩固提升新人教A版必修第二册.doc

第1课时 柱、锥、台的表面积和体积

[A　基础达标]
1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　　　　 B．1∶
C．1∶ D.∶2
解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
2.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.因为VC­A′B′C′
＝VABC­A′B′C′＝，
所以VC­AA′B′B＝1－＝.
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π.
4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P­ABCD的体积为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面A1B1C1D1内任意一点，
所以点P到平面ABCD的距离d＝AA1＝1，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
所以四棱锥P­ABCD的体积为：
VP­ABCD＝×AA1×S正方形ABCD＝×1×1＝.
故选B.
5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　)

A. B.
C．2　　　 D.
解析：选 D．因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCB­E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D.
6．已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm.
解析：圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)，
所以 2πr2＋8πr＝42π，
解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)，
所以圆柱的底面半径为 3 cm.
答案：3
7．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且 πl＝2πr.解得 r＝1，即直径为 2.
答案：2
8．圆柱内有一个内接长方体 ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2，则圆柱的底面半径为______cm，高为______cm.
解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：

所以
即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.
答案：5　10
9．如图，已知正三棱锥 S­ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，
SE＝h′.
因为 S侧＝2S底，
所以 3×·a·h′＝a2×2.
所以 a＝h′.
因为 SO⊥OE，
所以 SO2＋OE2＝SE2.
所以 32＋＝h′2.
所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6.
所以 S底＝a2＝×62＝9，
S侧＝2S底＝18.
所以 S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
10．若 E，F 是三棱柱 ABC­A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A­BEFC 的体积．
解：如图所示，
连接 AB1，AC1.
因为 B1E ＝CF，
所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积．
又四棱锥 A­BEFC 的高与四棱锥 A­B1EFC1 的高相等，
所以 V A­BEFC＝VA­B1EFC1
＝VA­BB1C1C.
又 VA ­A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以
VA­A1B1C1＝，
所以 VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝m.
所以 VA­BEFC＝×m＝，
即四棱锥 A­BEFC 的体积是.
[B　能力提升]
11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 C．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选 C.
12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26　－1
13．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.

答案：8
14．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC­A′B′C′的体积V＝Sa.

证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
显然三棱锥A′­ABC的体积是V，而四棱锥A′­BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V，
所以三棱柱ABC­A′B′C′的体积V＝Sa.
法二：如图所示，将三棱柱ABC­A′B′C′补成一个四棱柱ACBD­A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三棱柱ABD­A′B′D′的体积与原三棱柱ABC­A′B′C′的体积相等．
因为四棱柱ACBD­A′C′B′D′以BCC′B′为底面，高为点A′到面BCC′B′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABC­A′B′C′的体积V＝Sa.
[C　拓展探究]
15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)
＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)
＝96π(m2)．
(3)因为V2＞V1，S2＜S1，
所以方案二比方案一更加经济．

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