2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用应用案巩固提升新人教A版必修第一册.doc

5.7 三角函数的应用
[A　基础达标]
1．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．2π，－2，　　　　　　 B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
解析：选D.y＝－2sin＝2sin，所以周期T＝＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－.
2．(2019·河南灵宝实验高中月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深9 m，高潮时水深15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)
A．y＝3sint＋12 B．y＝－3sint＋12
C．y＝3sint＋12 D．y＝3cost＋12
解析：选A.根据题意，由ω＝＝＝，排除选项C，D.当t＝3时，3sint＋12＝3sin＋12＝15，符合题意，－3sint＋12＝－3sin＋12＝9.不符合题意，故选项B错误．
3．(2019·山东聊城期末考试)已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为(　　)
A．y＝sin，t≥0 B．y＝sin，t≥0
C．y＝－cos，t≥0 D．y＝－cos，t≥0
解析：选A.由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sin，t≥0，故选A.
4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
解析：当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin＝1.
答案：1
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．
解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示，sin ＝，
所以d＝10sin .
答案：10sin
6．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m 以上的时间将持续____________min.

解析：40sin＋50>70，
即cost<－，从而<<，
4<t<8，即持续时间为4 min.
答案：4
7．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解：(1)T＝＝＝(min)．
(2)f＝＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
8.如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
解：(1)由题图可知，
周期T＝2＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.
(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，
从题图中可以看出A＝4，T＝2×＝π.即＝π，即ω＝2，将t＝，s＝4代入解析式，得sin＝1，解得φ＝.
所以这条曲线的函数解析式为
s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin ＝2(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm.
[B　能力提升]
9．如图所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min) 之间的函数关系是(　　)
A．h＝8cost＋10 B．h＝－8cost＋10
C．h＝－8sint＋10 D．h＝－8cost＋10
解析：选D.依题意可设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝＝，则h＝8sin＋10，当t＝0时，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－1，可取φ＝－，所以h＝8sin＋10＝－8cost＋10.　
10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
11．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋B(A>0，ω>0)的图象．

(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又因为ymin＝7，ymax＝13，所以A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.
所以函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0，24]，所以sint≥，所以t∈，k＝0，1，所以t∈[1，5]或t∈[13，17]．
所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00 能安全进港．
若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．
12．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且
解得
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，
当x＝8时，f(x)最大，
故sin＝－1，
且sin＝1.
又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，
化简，得sin≥⇒2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，
故x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．
[C　拓展探究]
13．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈[4，8])的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F.

(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
解：(1)由图象，可知A＝，ω＝＝＝，
将B代入y
＝sin中，
得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝－，
故y＝sin.
(2)在y＝sin中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2(0≤x≤4)，则P，
所以矩形PMFE的面积为S＝×＝，即儿童乐园的面积为.

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