2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价一新人教A版必修2.doc
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单元素养评价(一) (第六章) (120分钟 150分) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的) 1.(2019·龙岩高二检测)在△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于 ( ) A.5 B.10 C. D.5 【解析】选C.因为A=60°,B=75°, 所以C=180°-A-B=45°,所以由正弦定理知 c===. 【加练·固】 △ABC的内角A,B,C的对边分別为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b= ( ) A. B. C.2 D.3 【解析】选D.由余弦定理得4+b2-2×2bcos A=5, 整理得3b2-8b-3=0, 解得b=3或b=-(舍) 2.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= ( ) A. B. C.2 D.10 【解析】选B.由a⊥c得a·c=2x-4=0,所以x=2, 由b∥c得1×(-4)=2y,所以y=-2, 于是a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),从而|a+b|=. 【加练·固】 已知向量=(1,1),=(2,3),则下列向量与垂直的是 ( ) A.a=(3,6) B.b=(8,-6) C.c=(6,8) D.d=(-6,3) 【解析】选D.=-=(1,2),(1,2)·(-6,3)=1×(-6)+2×3=0. 3.如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则= ( ) A.+ B.+ C.+ D.+ 【解析】选D.根据题意得:=(+),又=+,=,所以=(++)=+. 【加练·固】 如图,在△ABC中,BE是边AC的中线,O是边BE的中点,若=a,=b,则= ( ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 【解析】选D.=+=+ =+(-)=+ =+=a+b. 4.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A- bsin B=4csin C,cos A=-,则= ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-= cos A=,所以=-,所以=,所以=×4=6. 【加练·固】 在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶3,则cos B= ( ) A. B. C. D. 【解析】选A.由 sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶3, 结合正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶3, 故设a=2k,b=c=3k(k>0),所以cos B===,故cos B=. 5.在△ABC中,D是边BC上一点,若AD⊥AC,sin∠BAC=,AD=3,AB=3,BD= ( ) A. B.2 C.2 D.3 【解析】选A.画出图象如图所示. 由诱导公式得 sin∠BAC=sin(∠BAD+) =cos∠BAD=,在三角形ABD中,由余弦定理得BD==. 6.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,请设法计算·= ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 【解析】选B.以A为坐标原点, 建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(4,1),C(6,4),=(4,1), ==(2,3), 所以·=4×2+1×3=11. 【加练·固】 已知点A(7,1),B(1,a),若直线y=x与线段AB交于点C,且=2,则实数a= ( ) A.4 B.5 C.-4 D.-5 【解析】选A.根据题意,设C(x,x), 由A(7,1),B(1,a), 得=(x-7,x-1),=(1-x,a-x). 又=2,所以(x-7,x-1) =2(1-x,a-x), 所以解得x=3,a=4, 所以实数a的值为4. 7.已知点M,N满足||=||=3,且|+|=2,则M,N两点间的距离为 ( ) A. B.4 C.6 D.3 【解析】选B.依题意,得|+|2=||2++2·=18+2·=20, 则·=1, 故M,N两点间的距离为||=|-| = ==4. 8.(2019·海口高一检测)在△ABC中,A=60°,a=3,则△ABC的周长为 ( ) A.6sin(B+30°)+3 B.4sin(B+30°)+3 C.6sin(B+60°)+3 D.4sin(B+60°)+3 【解析】选A.由正弦定理可得==, 所以b=2sin B,c=2sin C, 因为A+B+C=180°,A=60°, 所以C=180°-A-B=120°-B, 那么△ABC的周长: a+b+c=3+2sin B+2sin(120°-B) =3+2sin B+2 =3+3sin B+3cos B=3+6sin(B+30°). 9.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°,沿D向北偏东30°方向前进100 m后到达C处,在C处测得水柱顶端A的仰角为30°,则水柱的高度是 ( ) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 【解析】选A.如图所示, AO⊥平面OCD,CD=100, ∠ACO=30°,∠ADO=45°,∠ODC=60°. 设OA=h,在Rt△OAD,则OD=h, 同理可得:OC=h, 在△OCD中,OC2=OD2+CD2-2OD·CD·cos 60°, 所以(h)2=h2+1002-2×h×100×, 化为:h2+50h-5 000=0,解得h=50, 因此水柱的高度是50 m. 10.如图,△ABC是边长为2的正三角形,P是以C为圆心,半径为1的圆上任意一点,则·的取值范围是 ( ) A.[1,13] B.(1,13) C.(4,10) D.[4,10] 【解析】选A.取AB的中点D,连接CD,CP, 则+=2, 所以·=(-)·(-)=·-2·+1=(2)2cos-2×3×1×cos<,>+1=7-6cos<,>, 所以当cos<,>=1时,·取得最小值为1;当cos<,>=-1时,·取得最大值为13,因此·的取值范围是[1,13]. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分) 11.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是 ( ) A.(4,-8) B.(8,4) C.(-4,-8) D.(-4,8) 【解析】选AD.b=-4a时,b可能是(-4,8). b=4a时,b可能是(4,-8). 12.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,则cos B= ( ) A.- B. C.- D. 【解析】选AD.因为=, 所以=, 解得sin B=. 因为b>a,所以B>A,故B有两解, 所以cos B=±. 13.已知△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k,则k的取值可以是 ( ) A. B.(2,+∞) C.(-∞,0) D. 【解析】选BD.由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1), c=2mk,(m>0),因为 即所以k>. 三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上) 14.在△ABC中,a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为________. 【解析】因为cos C=,0<C<π,所以sin C=. 所以S△ABC=absin C=×3×2×=4. 答案:4 15.已知向量a,b满足|b|=5,|a+b|=4,|a-b|=6,则向量a在向量b上的投影为________. 【解析】设向量a,b的夹角为θ,则|a+b|2=|a|2+2|a||b|cos θ+|b|2= |a|2+10|a|cos θ+25=16,|a-b|2=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2=|a|2-10|a|cos θ+25=36,两式相减整理得|a|cos θ=-1,即向量a在向量b上的投影为|a|cos θ=-1. 答案:-1 16.(2019·海口高一检测)在△ABC中,∠A=60°,且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根,则△ABC的外接圆半径R外=________. 【解析】易知,a既不是最大边,也不是最小边,不妨假设c为最大边,b为最小边,则, 所以a2=b2+c2-2bccos 60° =(b+c)2-3bc=49,所以a=7(a=-7舍去), 所以R外= ==. 答案: 【加练·固】 (2018·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=________,c=________. 【解析】由正弦定理=得=,得sin B=,cos A===,解得c=3. 答案: 3 17.在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为________. 【解析】不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则B(0,0),A(0,2),C(2,0), 线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2). 设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0<a<1), 所以=(a,2-a),=(a+1,1-a), 所以·=a(a+1)+(2-a)(1-a) =2a2-2a+2=2+,因为0<a<1, 所以由二次函数的知识可得·∈. 答案: 四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(12分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=. (1)求|b|. (2)当a·b=时,求向量a与b的夹角θ的值. 【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=, 即a2-b2=. 所以|b|2=|a|2-=1-=,故|b|=. (2)因为cos θ= =,又0°≤θ≤180°,故θ=45°. 19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长. (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. 【解析】(1)由题设知=(3,5),=(-1,1), 则+=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2,|-|=4. 故所求的两条对角线的长分别为2,4. (2)由题设知,=(-2,-1), -t=(3+2t,5+t), 由(-t)·=0, 得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以t=-. 20.(14分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,b+c),n=(sin C-sin B,a-b),且存在实数λ,使m=λn.求角C的大小. 【解析】因为在△ABC中,向量m=(sin A,b+c), n=(sin C-sin B,a-b), 且存在实数λ,使m=λn,所以m∥n, 所以sin A(a-b)=(b+c)·(sin C-sin B), 利用正弦定理可得 a(a-b)=(c+b)·(c-b),化简可得 a2+b2-c2=ab, 所以cos C==,所以C=. 21.(14分)已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E是边BC上一点,线段DE交AC于点F. (1)若△CDE的面积为,求DE的长. (2)若CF=4DF,求sin∠DFC. 【解析】(1)依题意,得∠BCD=∠DAB=60°. 因为△CDE的面积S=CD·CE·sin∠BCD=, 所以×2CE·=,解得CE=1. 在△CDE中,由余弦定理得 DE= ==. (2)方法一:连接BD.依题意,得∠ACD=30°,∠BDC=60°, 设∠CDE=θ,则0°<θ<60°. 在△CDF中,由正弦定理得=, 因为CF=4DF,所以sin θ==, 所以cos θ=, 所以sin∠DFC=sin(30°+θ)=×+×=. 方法二:连接BD.依题意,得∠ACD=30°,∠BDC=60°,设∠CDE=θ,则0°<θ<60°, 设CF=4x,因为CF=4DF,则DF=x, 在△CDF中,由余弦定理,得DF2=CD2+CF2-2CD·CFcos∠ACD,即7x2=4+16x2-8x, 解得x=,或x=. 又因为CF≤AC=, 所以x≤,所以x=, 所以DF=, 在△CDF中, 由正弦定理得=, 所以sin∠DFC==. 【加练·固】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C. (1)求cos A. (2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c. 【解题指南】(1)选择将已知条件3cos(B-C)-1=6cos Bcos C化简,先求得cos(B+C),再求得cos A; (2)结合余弦定理,选择合适的△ABC的面积公式,建立关于b,c的方程组,解得b,c的值. 【解析】(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1 =6cos Bcos C, 所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1, 所以3cos(B+C)=-1, 所以cos(π-A)=-,所以cos A=. (2) 由(1)得sin A=, 由面积公式bcsin A=2可得bc=6①, cos A===, 则b2+c2=13②,①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2. 22.(14分)如图,观测站C在目标A的南偏西20°方向,经过A处有一条南偏东40°走向的公路,在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走,走20 km到达D处,此时测得C,D相距21 km,求D,A之间的距离. 【解析】由已知,得CD=21 km,BC=31 km,BD=20 km. 在△BCD中, cos∠BDC==-. 设∠ADC=α,则cos α=,sin α=. 在△ACD中,由正弦定理=, 得=, 所以AD=sin(60°+α)= =15(km),即所求的距离为15 km. 【类题·通】解三角形应用题常见的情况 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解.有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解. 23.(14分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A. (1)求B. (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A. 因为sin A≠0,所以sin=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因为cos≠0,故sin=,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a. 由正弦定理得a===+. 由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故<a<2,从而<S△ABC<. 因此,△ABC面积的取值范围是. - 16 -- 配套讲稿:
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