2019_2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.3函数模型的应用第2课时建立函数模型解决实际问题课后课时精练新人教A版必修第一册.doc

第2课时 建立函数模型解决实际问题

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．某企业2016年12月份的产值是2016年1月份产值的P倍，若2016年每月产值的平均增长率均相同，则该企业2016年每月产值的平均增长率为(　　)
A． B．－1
C． D．
答案　B
解析　设2016年1月份产值为a，每月产值的平均增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝－1.
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15 B．40
C．25 D．130
答案　C
解析　若4x＝60，则x＝15＞10，不符合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不符合题意．故拟录用25人．
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是(　　)
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
答案　B
解析　A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B．
4．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是(　　)

答案　C
解析　观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”；图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”．综上所述，只有图象C是正确的．
5．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．21小时
答案　C
解析　由题意，知解得当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(小时)．
二、填空题
6．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
答案　45.6
解析　设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润为S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(x∈N*)．
所以当x＝10时，总利润取得最大值，Smax＝45.6(万元)．
7．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y＝ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，则这辆车的行驶速度为________km/h.
答案　60
解析　由题意得a×602＝b，解得a＝，所以y＝x2.因为y＝3b，所以x2＝3b，解得x＝－60(舍去)或x＝60，所以这辆车的行驶速度是60 km/h.
8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为A．若一个新丸体积变为a，则需经过________天．
答案　75
解析　由题意，得a＝ae－50k，解得e－25k＝.令ae－kt＝a，即e－kt＝3＝(e－25k)3＝e－75k，即需经过的天数为75.
三、解答题
9．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
解　(1)经过1年后，廉价住房面积为
200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后为200(1＋5%)2；
…
经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，
∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示．

作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．
因为8<x0<9，则取x0＝9，
即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．
10．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
解　(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9(或k≈0.022)．

解得t＝≈＝≈42.
故污染物减少到40%至少需要42 h.
B级：“四能”提升训练
1．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案　A
解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－ m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
2．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；

(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
解　(1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：
当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝＋2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝≥1，即f(x)≥1恒成立，
而若使函数f(x)＝＋2≤在[10,1000]上恒成立，
则29x≥300在[10,1000]上恒成立．
又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300，
所以f(x)≤在[10,1000]上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2≥1，
所以f(x)≥1在[10,1000]上恒成立．
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝的图象，如图所示．

由图象可知当x∈[10,1000]时，4lg x－2≤恒成立．
故该函数模型符合公司的要求．

- 7 -