2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十八函数的零点与方程的解新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（二十八） 函数的零点与方程的解
A级——学考水平达标练
1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)
A.　　　　　　　 B.　
C.　－ D.　－
解析：选B　函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　)
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解析：选C　若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．
3．函数f(x)＝x2＋ln x－4的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B　f(1)＝12＋ln 1－4＝－3＜0，f(2)＝22＋ln 2－4＝ln 2＞0，∴f(x)的零点在(1,2)内，故选B.
4．方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　设f(x)＝x＋log3x－3，则f(1)＝1＋log31－3＝－2＜0，f(2)＝2＋log32－3＝log32－1＜0，f(3)＝3＋log33－3＝1＞0，又易知f(x)为单调增函数，∴方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.故选C.
5．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]

解析：选D　作出函数f(x)的图象，由图象知，当0＜k≤1时，
y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，所以0＜k≤1，故选D.
6．若函数f(x)＝ax＋1－2a的零点是1，则a＝________.
解析：依题意得f(1)＝0，即a＋1－2a＝0，解得a＝1.
答案：1
7．函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．

答案：3
8．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
答案：0
9．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．
解：设g(x)＝log2x，h(x)＝－2x＋7，
作出g(x)，h(x)的图象如图所示．
由图可知g(x)与h(x)只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0有一个根，
∴函数f(x)有一个零点．f(2)＝log22＋22－7＝－2，f(3)＝log23＋23－7＞0，
∴f(2)·f(3)＜0.
∴零点的一个大致区间为(2,3)．
10．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
解：原方程可化为：x2＋x＋＋2＝0，
令f(x)＝x2＋x＋＋2，则f(4)＜0，
即16＋＋＋2＜0，即＜－13，
解得－＜m＜0.故实数m的取值范围是.
B级——高考水平高分练
1．若函数y＝|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,0) D．(0，＋∞)
解析：选C　因为函数y＝|x－1|＋m有零点，所以方程|x－1|＋m＝0有解，
即方程|x－1|＝－m有解，因为|x－1|≥0，所以0＜|x－1|≤1，即0＜－m≤1，因此－1≤m＜0，故选C.
2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是(　　)
A． B．[－1,0]
C．(－∞，－2] D．
解析：选A　由题意可得函数y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝，所以函数的最小值为－－m.当x＝0时，y＝4－m，当x＝3时，y＝－2－m＜4－m，所以－－m＜0≤－2－m，解得－＜m≤－2.
3．若函数f(x)＝|x2－2x|－a有4个零点，求实数a的取值范围．
解：函数f(x)＝|x2－2x|－a的零点就是方程|x2－2x|－a＝0的解．
由|x2－2x|－a＝0，得|x2－2x|＝a.
在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x2－2x|的图象，再作出直线y＝a，使它们有4个交点，如图，

则实数a的取值范围是(0,1)．
4．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.

5．已知函数f(x)＝logx＋－.
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值．
解：(1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，x1x2>0，则－＝>0，logx1>logx2，则logx1－logx2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(logx1－logx2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)．故f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f(1)＝0＋－＝－8<0，f＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f<0，又因为f(x)在区间上是连续的，所以f(x)有零点．
(3)f ＝log＋－
＝log211－3>log28－3＝0，
f ＝log＋5－
＝log210－＝log25－
＝log2－log2<0，
所以f f <0，
所以f(x)的零点x0落在区间内．故n＝10.

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