2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价九平面向量数量积的坐标表示新人教A版必修2.doc

课时素养评价 九　
平面向量数量积的坐标表示

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)设向量a=(1，0)，b=，则下列结论中错误的是 (　　)

A.|a|=|b| B.a·b=
C.a∥b D.a-b与b垂直
【解析】选A、B、C.因为|a|=1，|b|=，所以|a|≠|b|.又a·b=1×+0×=≠；易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确.因为a-b=，且(a-b)·
b=×+×=0，所以(a-b)⊥b.
2.已知向量a=(0，-2)，b=(1，)，则向量a在b方向上的投影为
(　　)
A. B.3 C.- D.-3
【解析】选D.向量a在b方向上的投影为==-3.
3.(2019·邢台高一检测)已知a=(2，-3)，b=(1，-2)，且c⊥a，b·c=1，则c的坐标为 (　　)
A.(3，-2) B.(3，2)
C.(-3，-2) D.(-3，2)
【解析】选C.采用验证的方法知，c=(-3，-2)满足c·a=-6+6=0，所以c⊥a，b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.
4.已知a=(1，2)，b=(x，4)且a·b=10，则|a-b|= (　　)
A.-10 B.10 C.- D.
【解析】选D.因为a·b=10，所以x+8=10，x=2，所以a-b=(-1，-2)，故|a-b|=.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(-1，-1)，则|b|=________，cos θ=________. 
【解析】b=a+(-1，-1)=(1，1)，
则a·b=6.又|a|=3，|b|=，
所以cos θ===1.
答案：　1
6.已知a，b是同一平面内的两个向量，其中a=(1，2).若|b|=2，且b∥a，则b的坐标为________. 
【解析】设b=(x，y)，因为|b|=2，
所以=2，
所以x2+y2=20.由b∥a和|b|=2，
可得解得或
故b=(2，4)或b=(-2，-4).
答案：(2，4)或(-2，-4)
【加练·固】
　　 已知=(-3，1)，=(0，5)，且∥，⊥(O为坐标原点)，则点C的坐标是________. 
【解析】设C(x，y)，则=(x，y).
又=(-3，1)，所以=-=(x+3，y-1)，因为∥，所以5(x+3)
-0·(y-1)=0，所以x=-3.因为=(0，5)，所以=-=(x，y-5)，=-=(3，4).因为⊥，所以3x+4(y-5)=0，所以y=，所以C点的坐标是.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知向量a，b同向，b=(1，2)，a·b=20.
(1)求向量a的坐标.
(2)若c=(2，1)，求(b·c)·a.
【解析】(1)因为向量a，b同向，又b=(1，2)，
所以设a=λb=λ(1，2)=(λ，2λ)，λ>0.
由a·b=20得1×λ+2×2λ=20，所以λ=4，所以a=(4，8).
(2)因为b·c=(1，2)·(2，1)=1×2+2×1=4，
所以(b·c)·a=4(4，8)=(16，32).
8.(14分)已知a=(1，2)，b=(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角.
(2)a与b的夹角为钝角.
(3)a与b的夹角为锐角.
【解析】设a与b的夹角为θ，
则a·b=(1，2)·(1，λ)=1+2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ=0，
所以a·b=0，所以1+2λ=0，所以λ=-.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ<0且cos θ≠-1，
所以a·b<0且a与b不反向共线.
由a·b<0得1+2λ<0，故λ<-，
由a与b共线得λ=2，故a与b不可能反向共线，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向共线.
由a·b>0，得λ>-，由a与b共线得λ=2，
所以λ的取值范围为∪(2，+∞).

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)在平面直角坐标系xOy中，=(2，1)，=(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k的可能值的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由-==(-1，1-k)，若·=0，所以k=-6；若·=0，所以k=-1，若·=0，所以k2-k+3=0，由Δ<0知无解.
2.(4分)已知O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中a∈(0，+∞)，点P在AB上且=t(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　)
A.a B.2a C.3a D.a2
【解析】选D.因为A(a，0)，B(0，a)，
所以=(a，0)，=(-a，a).
又因为=t，
所以=+=(a，0)+t(-a，a)
=(a-ta，ta)，
所以·=a(a-ta)=a2(1-t).
因为0≤t≤1，所以0≤1-t≤1，
即·的最大值为a2.
3.(4分)已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E满足=，点F为CD的中点，若·=-2，则·=________.  
【解析】如图，建立平面直角坐标系，

设C(t，0)，A(-t，0)，B(0，-1)，D(0，1)，
E，F，
=(t，1)，=，
=(-t，1)，=，
因为·=-2，所以-t2+=-2，
解得t2=5，·=-t2+=-7.
答案：-7
4.(4分)若向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.  
【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角，
所以(2a-3b)·c<0，
即(2k-3，-6)·(2，1)<0，
所以4k-6-6<0，所以k<3.又若(2a-3b)∥c，
则2k-3=-12，即k=-.当k=-时，
2a-3b=(-12，-6)=-6c，
即2a-3b与c反向.
综上，k的取值范围为∪.
答案：∪
【加练·固】
　　 已知向量a=(-2，-1)，b=(t，-2)，且a与b的夹角为锐角θ，则实数t的取值范围为________. 
【解析】因为a与b的夹角为锐角θ，所以cos θ=>0，即：a·b=(-2，-1)·(t，-2)=-2t+2>0，所以t<1.若a∥b，可设：a=λb，
所以(-2，-1)=λ(t，-2)，
所以所以
此时b=2a，所成角为0°，故t=-4不合题意.所以t的取值范围是(-∞，-4)∪(-4，1).
答案：(-∞，-4)∪(-4，1)
5.(14分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=，n=(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值.
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
【解析】(1)因为m=，
n=(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n=0，即sin x-cos x=0，
所以sin x=cos x，所以tan x=1.
(2)因为|m|=|n|=1，所以m·n=cos=，
即sin x-cos x=，
所以sin=，
因为0<x<，所以-<x-<，
所以x-=，即x=.

1.(2019·怀化模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值是________.  
【解析】设D(x，y)，由=(x-3，y)及||=1知=1，即动点D到点(3，0)的距离为1.又++=(-1，0)+(0，)+(x，y)=(x-1，y+)，所以|++|=.
问题转化为点D与点P(1，-)间距离的最大值.点D在以点(3，0)为圆心，半径为1的圆上.
因为圆心C(3，0)与点P(1，-)之间的距离为=，
故的最大值为+1.
答案：+1
2.设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b=(a1b1，a2b2)，已知向量m=，n=，点P(x，y)在y=sin x的图象上运动，Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点)，求函数y=f(x)的值域.
【解析】设Q(c，d)，由新的运算可得：
=m⊗+n=+
=，
由
消去x得d=sin，
所以y=f(x)=sin，
故y=f(x)的值域是.

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