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2019_2020学年新教材高中数学第七章复数7.3复数的三角表示应用案巩固提升新人教A版必修第二册.doc
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7.3 复数的三角表示 [A 基础巩固] 1.复数-i的三角形式是( ) A.cos+isin B.cos +isin C.cos -isin D.cos +isin 解析:选A.-i=cos π+isin π =cos+isin =cos+isin. 2.复数sin 50°-isin 140°的辐角的主值是( ) A.150° B.40° C.-40° D.320° 解析:选D.sin 50°-isin 140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°) =cos 320°+isin 320°. 3.复数sin 4+icos 4的辐角的主值为( ) A.4 B.-4 C.2π-4 D.-4 解析:选D.sin 4+icos 4=cos+isin. 4.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ的值为( ) A. B.或 C.2kπ+(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析:选D.因为cos θ+isin θ=sin θ+icos θ, 所以cos θ=sin θ,即tan θ=1, 所以θ=+kπ,(k∈Z). 5.如果θ∈,那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是( ) A. B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)] C. D. 解析:选A.因为1+i=, cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ), 所以(1+i)(cos θ-isin θ) = =. 6.已知z=cos +isin ,则argz2=________. 解析:因为argz=,所以argz2=2argz=2×=. 答案: 7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是________. 解析:(1+i) = = ==1-i. 答案:1-i 8.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角的主值是_________________. 解析:由题知,z1=2,z2=2, 所以的辐角的主值为-=. 答案: 9.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上,且argz2∈(0,π),求z2的代数形式. 解:因为z1=2,设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),所以z1z=8.由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),所以α=kπ+(k∈Z),又α∈(0,π),所以α=,所以z2=2=-1+i. 10.已知z=-2i,z1-z2=0,argz2=,若z1,z2在复平面内分别对应点A,B,且|AB|=,求z1和z2. 解:由题设知z=1-i,因为|AB|=,即|z1-z2|=, 所以|z1-z2|=|z2-z2|=|(1+i)z2-z2|=|iz2|=|z2|=,又argz2=, 所以z2=, z1=z2=(1+i)z2=·=2. [B 能力提升] 11.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是( ) A.1 B.-1 C.- D.- 解析:选B.因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=, 所以,所以a=-1,故选B. 12.设π<θ<,则复数的辐角的主值为( ) A.2π-3θ B.3θ-2π C.3θ D.3θ-π 解析:选B.==cos 3θ+isin 3θ. 因为π<θ<,所以3π<3θ<, 所以π<3θ-2π<,故选B. 13.已知复数z满足z2+2z+4=0,且argz∈,则z的三角形式为________. 解析:由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i. 因为argz∈, 所以z=-1-i应舍去, 所以z=-1+i=2. 答案:z=2 14.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=π,(1+)2+(1+i)2=1+kω. (1)求ω的值; (2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π],若|z-ω|=1+,求θ的值. 解:(1)设ω=r(r>0),可求出r=,即ω=-1+i. (2)|z-ω|=. 因为|z-ω|=1+, 所以=1+, 化简得cos=1, 而≤θ+≤, 所以θ+=2π,即θ=. [C 拓展探究] 15.设O为复平面的原点,A、B为单位圆上两点,A、B所对应的复数分别为z1、z2,z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为+i,求tan(α+β). 解:由题意可设z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β. 因为△AOB的重心G对应的复数为+i, 所以=+i,即 所以 所以tan =,故tan(α+β)==. - 5 -- 配套讲稿:
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