2019_2020学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明课后课时精练新人教B版必修第一册.doc
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第1课时 单调性的定义与证明 A级:“四基”巩固训练 一、选择题 1.函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是( ) A. B.[-1,+∞) C. D.(-∞,+∞) 答案 C 解析 ∵y=x2+x+1=2+,其图像的对称轴为直线x=-,在对称轴左侧单调递减,∴当x≤-时,函数单调递减. 2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=-x2+4 答案 A 解析 B项在R上为减函数;C项在(-∞,0)上和(0,+∞)上为减函数;D项在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数;A项在(0,+∞)上为增函数.故选A. 3.函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-3) B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 答案 C 解析 因为函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),所以2m>-m+9,即m>3. 4.若函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是( ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,-3) D.(0,5) 答案 B 解析 ∵函数f(x)的增区间为(-2,3),则f(x+5)的递增区间满足-2<x+5<3,即-7<x<-2.故选B. 5.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 答案 C 解析 当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2. 二、填空题 6.设函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间[-2,6]上递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是______,最大值是______. 答案 f(-2) f(6) 解析 函数y=f(x)在[-4,6]上的图像的变化趋势如图所示,观察可知f(x)min=f(-2). 又由题意可知f(-4)<f(6), 故f(x)max=f(6). 7.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是______. 答案 f(-3)>f(-π) 解析 由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数.又-3>-π,所以f(-3)>f(-π). 8.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是________. 答案 (0,2] 解析 依题意得实数a应满足 解得0<a≤2. 三、解答题 9.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明. 解 函数f(x)=在[1,+∞)上是增函数. 证明如下:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=- ==, ∵1≤x1<x2, ∴x2+x1>0,x2-x1>0, +>0. ∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数. 10.已知函数f(x)= (1)画出函数f(x)的图像; (2)写出函数f(x)的单调递增区间及最大值和最小值. 解 (1)函数f(x)的图像如下图. (2)函数f(x)在[-1,0]和[2,5]上为增函数,在(0,2)上为减函数,所以函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[2,5]. 由图像知f(x)max=f(0)=3,f(x)min=f(2)=-1. B级:“四能”提升训练 1.设函数f(x)=,其中a∈R. (1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性并用定义给予证明; (2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1时,f(x)=1-在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增. 设x1,x2是区间(-1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=, 因为x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 所以x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0, 所以<0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增; 同理,当x1,x2∈(-∞,-1)且x1<x2时, 有x1-x2<0, x1+1<0,x2+1<0. 所以f(x1)-f(x2)<0, 所以f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增. (2)设0<x1<x2, 则x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0. 若使f(x)在(0,+∞)上是减函数, 只要f(x1)-f(x2)>0. 而f(x1)-f(x2)=, 所以当a+1<0,即a<-1时,有f(x1)-f(x2)>0. 所以f(x1)>f(x2). 所以当a<-1时,f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.即所求实数a的取值范围是(-∞,-1). 2.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-. (1)求证:函数f(x)是R上的单调递减函数; (2)求函数f(x)在[-3,3]上的最小值. 解 (1)证明:设x1和x2是任意的两个实数, 且x1<x2,则x2-x1>0, 因为x>0时,f(x)<0, 所以f(x2-x1)<0. 又因为x2=(x2-x1)+x1, 所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1), 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0, 所以f(x2)<f(x1). 所以函数f(x)是R上的单调递减函数. (2)由(1)可知函数f(x)在R上是减函数, 所以函数f(x)在[-3,3]上也是减函数, 所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3). 而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2. 所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2. 5- 配套讲稿:
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