2019_2020学年新教材高中数学章末综合检测三函数的概念与性质新人教A版必修第一册.doc

章末综合检测（三） 函数的概念与性质
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0，＋∞)　　　　　　 　B．(1，＋∞)
C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)
解析：选C　要使函数有意义，有得x≥0且x≠1.所以所求函数的定义域是[0,1)∪(1，＋∞)．
2．下列函数是偶函数的为(　　)
A．f(x)＝|x－3| B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝x2－x D．f(x)＝
解析：选D　A、B、C选项中的定义域均为R，但f(－x)≠f(x)，所以都不是偶函数，只有选项D中f(－x)＝f(x)且定义域{x|x≠0}关于原点对称．
3．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是(　　)

解析：选D　A和B中y的取值范围不是[1,2]，不合题意，故A和B都不成立；C中x的取值范围不是[0,2]，y的取值范围不是[1,2]，不合题意，故C不成立；D中，0≤x≤2,1≤y≤2，且对于定义域中的每一个x值，都有唯一的y值与之对应，符合题意．
4．设函数f(x)＝则f的值为(　　)
A．－1 B．
C． D．4
解析：选C　因为f(2)＝22＋2－2＝4，所以f ＝f ＝1－2＝.
5．若函数f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，则m与n的关系为(　　)
A．m>n B．m<n
C．m≥n D．m≤n
解析：选B　因为f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，所以m<n.
6．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：选C　画出函数f(x)＝2x－1(x<0)的图象，如图中实线部分所示．由图象可知，函数f(x)＝2x－1(x<0)是增函数，无最大值及最小值．

7．已知函数f＝x2＋＋3，则f(3)＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C　∵f＝x2＋＋3＝2＋1，
∴f(x)＝x2＋1(x≤－2或x≥2)，∴f(3)＝32＋1＝10.故选C.
8．函数f(x)定义在区间[－2,3]上，则函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有(　　)
A．1个 B．2个
C．无数个 D．至多一个
解析：选D　当a∈[－2,3]时，由函数定义知，y＝f(x)的图象与直线x＝a只有一个交点；当a∉[－2,3]时，y＝f(x)的图象与直线x＝a没有交点．所以直线x＝a与函数y＝f(x)的图象最多只有一个交点．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．若函数y＝(k>0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为__________．
解析：因为k>0，所以函数y＝在[2,4]上是减函数．所以当x＝4时，ymin＝.由题意知＝5，解得k＝20.
答案：20
10．函数y＝(m－1)x为幂函数，则该函数为______．(填序号)
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析：由y＝(m－1)x为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案：②
11．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．
解析：当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2，所以x0<－2；当x0>0时，由>1，得x0>1.所以x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)
12．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，若f(2)＝－3，则m的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝3，所以(－2)2－2m＝3，解得m＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)求函数f(x)＝的最值．
解：函数f(x)的图象如图，

由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
14．(10分)判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
解：设∀x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x－1<0，x－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，
∴>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是减函数；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数．
15．(10分)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
16．(12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．

(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的值域．
解：(1)函数的定义域为(0,12)，
当0<x≤4时，f(x)＝×4×x＝2x；
当4<x≤8时，f(x)＝×4×4＝8；
当8<x<12时，f(x)＝×4×(12－x)＝24－2x.
所以函数解析式为f(x)＝
(2)作出函数图象如图所示．从图象可以看出f(x)的值域为(0,8]．

B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝，则f(1)的值为(　　)
A.　　　　　　　　 　B．－
C. D．－
解析：选C　由f(x)＝，得f(1)＝＝.
2．函数f(x)＝则f(x)的最大、最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：选A　当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
解析：选A　f(x－1)＝x2＋4x－5⇒f(x)＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5＝x2＋6x.
4．已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是(　　)
A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1)
C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)
解析：选B　由幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故选B.
5．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f＝(　　)
A．1 B．3
C． D．
解析：选B　因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1，所以f＝f(1)＝3.
6．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[－2,2]
解析： 选D　依题意，可得
或或
解得－2≤a≤2.
7．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
解析：选D　∵f(x)和g(x)都是奇函数，∴f(x)＋g(x)也是奇函数．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
8．已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是(　　)
A．(－2，－1)∪(1,2)
B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)
解析：选D　当x>0时，f(x)<0由图象关于原点对称，
∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；当x<0时，f(x)>0，
∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．∴选D.
9．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
解析： 选A　设g(x)＝f(x)－3，则g(x)为奇函数，且在R上单调递减，又f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－ [f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，即g(a)>g(2－a)，∴a<2－a，∴a<1.
10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A，O，P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的大致图象为(　　)

解析：选A　由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f(x)＝·x··a＝ax，故在[0，a]上的图象为线段，故排除B；当a<x≤a时，f(x)＝···a＝a，故在上的图象为线段，故排除C、D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，
又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
12．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是________．
解析：由于两函数在[1，＋∞)上递减应满足所以0<a<1.
答案：(0,1)
13．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．
解析：因为函数f(x)的定义域为[－2,2]，所以解得－1≤x≤1，函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1,1]．
答案：[－1,1]
14．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.
解析：f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.

答案：－16
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)记函数f(x)＝＋的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，求：
(1)M，N；
(2)M∩N，M∪N.
解：(1)因为函数f(x)＝＋的定义域为集合M，
则有故1≤x≤3，集合M＝[1,3]．
因为函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，
则g(x)＝x2－2x＋3≥2，集合N＝[2，＋∞)，
所以M＝[1,3]，N＝[2，＋∞)．
(2)M∩N＝[1,3]∩[2，＋∞)＝[2,3]，
M∪N＝[1,3]∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．
16．(10分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b.求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
证明：设a<x1<x2<b.
∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)<g(x2)，且a<g(x1)<g(x2)<b.
又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))<f(g(x2))．
∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
17．(10分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足如下函数：R(x)＝其中x是仪器的产量．
(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)
(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20 000＝

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
即当x＝300时，f(x)有最大值25 000，
当x>400时，f(x)<20 000.
综上可知，当产量为300台时，公司获得最大利润25 000元．
18．(10分)已知函数y＝f(x)(x≠0)对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断函数y＝f(x)(x≠0)的奇偶性．
解：(1)因为对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0，令x＝y＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝0.
(2)由题意可知，函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
因为f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)(x≠0)为偶函数．
19．(12分)已知函数f(x)＝|x－a|－＋a，x∈[1,6]，a∈R.
(1)若a＝1，试判断并用定义证明f(x)的单调性；
(2)若a＝8，求f(x)的值域．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－.
任取x1，x2∈[1,6]，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝x2－－x1＋＝(x2－x1)－＝(x2－x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在[1,6]上单调递增．
(2)当a＝8时，f(x)＝|x－8|－＋8＝8－x－＋8＝16－.
令t＝x＋，
∵x∈[1,6]，∴t∈[6,10]，
∴f(x)＝16－t∈[6,10]，
∴f(x)的值域为[6,10]．

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