2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用课时36向量在物理中的应用练习含解析新人教B版必修第二册.doc

课时36　向量在物理中的应用

知识点一 向量在力学中的应用
1.已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
答案　A
解析　F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．故选A．
2．甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是(　　)
A．1∶ B．∶1
C．1∶ D．∶1
答案　D
解析　由物理知识得，|F甲|sin30°＝|F乙|sin60°，
∴|F甲|∶|F乙|＝∶1，故选D．
知识点二 向量在运动学中的应用
3.一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h，则水流速度的大小为________ km/h.
答案　2
解析　如右图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船的实际航行速度．在Rt△ABC中，||＝||＝2，

||＝4，∴||＝2.
4．一航船用5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．

解　如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示船实际速度，
∠AOC＝30°，||＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，
||＝＝＝5≈8.66(km/h)．
||＝＝10(km/h)．
∴水流速度为8.66 km/h，船实际速度为10 km/h.
5．如图，一条河的两岸互相平行，河的宽度d＝1000 m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度为|v1|＝5 km/h，水流速度|v2|＝3 km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少分钟？

解　小船行驶航程最短时，合速度的方向垂直于河岸，小船的实际航行速度|v|＝＝4(km/h)，所以航行时间t＝＝×60＝15(min)．
所以行驶航程最短时，所用的时间是15 min.
知识点三 向量在物理中的综合应用
6.三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．

解　由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－B．
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．
因为＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形.
易错点 在渡河问题中忽略水流速度
7.在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
易错分析　本题若忽略了水流速度，就会得到如下错解：渡船要垂直地渡过长江，其航向应垂直于岸边．
正解　如图所示，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．

因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，
即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.

一、选择题
1．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)(　　)
A．20.6 N B．18.8 N
C．20.8 N D．36.8 N
答案　C

解析　设两条绳索的拉力F1，F2的合力为F合．如图所示，则||＝| |＝12，F合＝，连接BD交AC于M，∠BAM＝30°，∴|F合|＝2||＝2×12cos30°＝12≈20.8(N)．故选C．
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
答案　B
解析　由题意可知，|F1|＝|F|cos60°＝5(N)．
3．河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　)
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
答案　A

解析　如图所示，v1是河水流速，v为小船实际速度，
则v－v1为小船的静水速度．
于是|v－v1|＝＝＝13.
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
答案　B
解析　∵|v|＝ ＝，
||＝ ＝，
∴时间t＝＝3.
5．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A．(5,10) B．(－5,10)
C．(10,5) D．(10，－5)
答案　D
解析　设P(x，y)，则
∴P(10，－5)．
二、填空题
6．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________ m/s.
答案　5

解析　设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
7．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，且F1＋F2＋F3＝0，则F3＝________.
答案　(－5,1)
解析　由题设F1＋F2＋F3＝0，得(3,4)＋(2，－5)＋(x，y)＝(0,0)，即∴
∴F3＝(－5,1)．
8．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

答案　①③
解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．
设船的浮力为F浮，则|F浮|＋|F|sinθ＝|mg|，
∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．
三、解答题
9．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．

解　如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行的速度，
∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴解直角三角形|v0＋v1|＝＝4.
故船实际航行的速度为4千米/时．

10．如图所示，在细绳O处用水平方向的力F2缓慢拉起重力为G的物体，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)分析|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ的取值范围．

解　(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G＝－(F1＋F2)，|F1|＝，
|F2|＝|G|tanθ.
当θ从0°逐渐增大并接近90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)|F1|＝≤2|G|，
∵0°≤θ＜90°，∴cosθ≥，∴0°≤θ≤60°.
11．某人在一条河中游泳，河水的流速为3 km/h，此人在静水中游泳的速度为4 km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

解　(1)如图，设水流速度为，此人游泳的速度为，以，为邻边作矩形OACB，则此人实际的速度为＝＋.
由||＝3，||＝4，及勾股定理，得||＝5，且在Rt△OAC中，∠AOC≈53°1′.
故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°1′的方向前进的，速度大小为5 km/h.

(2)如图，设水流速度为，实际游泳的速度为，实际前进的速度为，
则＋＝，∴四边形OABC为平行四边形．
据题意，⊥，||＝3，||＝4，
则在Rt△AOB中，||＝＝.
cos∠BAO＝，∴∠BAO≈41°41′.
故此人应沿与河岸的夹角为41°41′且逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为 km/h.

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