2019_2020学年新教材高中数学第一课指数函数对数函数与幂函数考点突破素养提升新人教B版必修2.doc

第一课 指数函数、对数函数与幂函数
考点突破·素养提升
素养一　数学运算
角度1　指数式的运算
【典例1】计算下列各式:
(1)(0.064-+[(-2)3+16-0.75+(0.01.
(2)(a4b-4×a0-÷(ab4)+(a>0,b>0).
【解析】(1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.
(2)原式=a1b-1·1-(a2b3)÷(ab4)+|-a|=ab-1-ab-1+a=a.
【类题·通】
指数的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.
【加练·固】
　　　计算+0.00-10+
【解析】原式=(-1+-+1=+50-10+1
=+10-10-20+1=-.
角度2　对数式的运算
【典例2】(1)计算10-log98·log4=________. 
(2)设3x=4y=36,求+的值.
【解析】(1)10-log98·log4
=10lg 9÷10lg 4-·=-·
=-=2.
答案:2
(2)因为3x=36,4y=36,所以x=log336,y=log436,
由换底公式得x==,
y==,所以=log363,=log364,
所以+=2log363+log364=log36(32×4)=log3636=1.
【类题·通】
底数相同的对数式化简的两种基本方法
(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【加练·固】
　　　计算:log89·log2732-()lg 1+log535-log57=________. 
【解析】log89·log2732-()lg 1+log535-log57=×-1+log5
=×-1+1=.
答案:
素养二　直观想象
角度　基本初等函数的图像问题
【典例3】已知a>0且a≠1,函数y=,y=logax,y=x+a在同一坐标系中的图像可能是 (　　)

【解析】选B.当a>1时,那么0<<1,y=是减函数,y=logax是增函数.y=x+a与y轴的交点大于1,此时没有图像满足;当1>a>0时,>1,y=是递增函数,y=logax是递减函数.y=x+a与y轴的交点在0与1之间,此时图像B满足.
【类题·通】
函数图像的画法
画法
应用范围
画法技巧
基本
函数法
基本初等函数
利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画出特殊点(线),直接根据函数的图像特征作出图像
变换法
与基本初等函数有关联的函数
弄清所给函数与基本函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本函数图像变换得到函数图像
描点法
未知函数或较复杂的函数
列表、描点、连线
【加练·固】
　　　(2019·邵阳高一检测)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=
loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像大致为 (　　)

【解析】选A.因为a>0且a≠1,所以f(x)为减函数,排除C;若a>1,则g(x)在(-2,+∞)上单调递增,此时f(x)的斜率为-a<-1,排除B;若0<a<1,则g(x)在(-2,+∞)上单调递减,此时f(x)的斜率为-1<-a<0,排除D.
素养三　逻辑推理
角度1　比较大小
【典例4】(2019·广州高一检测)设a=0.70.4,b=0.40.7,c=0.40.4,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.b<a<c　　　 B.a<c<b
C.b<c<a D.c<b<a
【解析】选C.因为函数y=0.4x在R上单调递减,所以0.40.7<0.40.4,即b<c,因为y=x0.4在(0,+∞)上单调递增,
所以0.40.4<0.70.4,即c<a,所以b<c<a.
【延伸探究】
　　　将本例中的三个数改为a=log37,b=21.1,c=0.83.1,试比较三个数的大小.
【解析】因为2>a=log37>1,b=21.1>2,c=0.83.1<1,所以c<a<b.
【类题·通】
比较函数值的大小的一般步骤
(1)根据函数值的特征选择适当的函数.
(2)根据所选函数的单调性,确定两个函数值的大小.
(3)当两个函数值不能直接比较时,常选择两个对应函数,再进行比较.
(4)必要时,可先将函数值与特殊值0和1进行比较,最后确定它们的大小关系.
【加练·固】
　　　若a>b>0,0<c<1,则 (　　)
A.logac<logbc B.logca<logcb
C.ac<bc D.ca>cb
【解析】选B.方法一:因为0<c<1,所以y=logcx在(0,+∞)上单调递减,又0<b<a,所以logca<logcb.
方法二:取a=4,b=2,c=,
则log4=->log2,排除A;=2>,
排除C;<,排除D.
角度2　基本初等函数的奇偶性、单调性
【典例5】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,若a=f(log25),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a<b<c B.c<b<a
C.b<a<c D.c<a<b
【解析】选B.根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,则函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,则20.8<21=2<log24.1<log25,则c<b<a.
【类题·通】
关于初等函数的性质的应用
此类题目往往以指数函数、对数函数、幂函数为载体,涉及函数的奇偶性、单调性、图像等性质的综合应用,一般是先由函数的性质转化,再利用指、对、幂函数的性质解题.
【加练·固】
已知函数f(x)=是奇函数,若f(2m-1)+f(m-2)≥0,则m的取值范围
为 (　　)
A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1
【解析】选B.因为函数f(x)=的定义域为R,且是奇函数,所以f(0)==0,即a=-1.
所以f(x)==2x-,
因为y=2x在(-∞,+∞)上为增函数,
所以函数f(x)=2x-在(-∞,+∞)上为增函数,
由f(2m-1)+f(m-2)≥0,
得f(2m-1)≥f(-m+2),
所以2m-1≥-m+2,
可得m≥1,所以m的取值范围为m≥1.
素养四　数学建模
角度　函数模型的应用
【典例6】某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的0.5%,且最低1元/笔,最高50元/笔,王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务.
(1)若王杰转账的金额为x元,手续费为y元,请将y表示为x的函数.
(2)若王杰转账的金额为10t-3 996元,他支付的手续费大于5元且小于50元,求t的取值范围.
【解析】(1)由题意得y=
(2)从(1)中的分段函数得,如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元,
则转账金额大于1 000元,且小于10 000元,
则只需要考虑当1 000<x<10 000时的情况即可,
由1 000<10t-3 996<10 000得3<t-3 996<4,
得3 999<t<4 000即实数t的取值范围是(3 999,4 000).
【类题·通】
建模的三个原则
(1)简化原则:建立模型,要对原型进行一定的简化,抓主要因素、主变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立的模型一定要有意义,既能对其进行理论分析,又能计算和推理,且能推演出正确结果.
(3)反映性原则:建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系,即应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明现实问题的功能,能回到具体研究对象中去解决问题.
【加练·固】
　　　通过实验数据可知,某液体的蒸发速度y(单位:升/小时)与液体所处环境的温度x(单位:℃)近似地满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该液体在0 ℃的蒸发速度是0.1升/小时,在30 ℃的蒸发速度为0.8升/小时,则该液体在20 ℃的蒸发速度为________升/小时. 
【解析】根据题意得,x=0时,y=0.1,
x=30时,y=0.8,
代入函数y=ekx+b中,可得eb=0.1,e30k+b=0.8,
所以e30k=8,所以e10k=2,
当x=20时,y=e20k+b=e20k·eb=(e10k)2·eb=22×0.1=0.4,
即液体在20 ℃的蒸发速度是0.4升/小时.
答案:0.4

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