2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十七函数的零点与方程的解新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 三十七
　函数的零点与方程的解
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点是 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选A、C.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点就是(x2-1)(x+1)=0的根,显然方程的根为-1,1,故零点是-1,1.
【加练·固】函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点个数是 (　　)
A.1　　 　B.2　　 　C.3　 　　D.4
【解析】选C.因为f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),所以由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2.
2.函数f(x)=的零点有 (　　 )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.因为x>2,x≠3,所以f(x)=≠0,即无零点.
3.函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是 (　　)
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
【解析】选C.函数f(x)=lnx-是(1,+∞)上的连续增函数,f(2)=ln 2-3<0;
f(3)=ln 3-=ln<0,f(4)=ln 4-1>0;
f(3)f(4)<0,所以函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间为(3,4).
4.若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是
(　　 )
A.a>1 B.a<-1
C.a<-1或a>1 D.-1<a<1
【解析】选C.函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)f(1)<0,
即(1-a)(1+a)<0,
解得a<-1或a>1.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=的零点是________. 
【解析】令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,所以x=1,故函数f(x)的零点为1.
答案:1
6.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点,则k的取值范围是________. 
【解析】作出f(x)的函数图象如图所示:

因为f(x)=k有两个不同解,所以0<k<1.
答案:(0,1)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数y=f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时
f(x)=
(1)试求f(-2)的值.(2)求出f(x)的零点.
【解析】(1)由已知得f(-2)=-f(2),
2∈(0,3],f(2)=,所以f(-2)=-.
(2)由-x2+2=0,且0<x≤3,解得x=,
又f(x)为奇函数,可得另一个零点为x=-,
综上,f(x)的零点为和-.
8.(14分)已知函数f(x)=
(1)在如图的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.
(2)若f(a)=2,求实数a的值.
(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.

【解析】(1)函数图象如图,

由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).
(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.
(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.
【加练·固】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(0)及f(f(1))的值.
(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.
(3)若关于x的方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)根据题意当x≥0时,
f(x)=x2-2x;
则f(0)=0,f(1)=1-2=-1,
又由函数f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1)=-1,
则f(f(1))=f(-1)=-1.
(2)设x<0,则-x>0,
则有f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又由函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=x2+2x,
则当x<0时,f(x)=x2+2x.
(3)若方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点,而y=f(x)的图象如图:分析可得-1<m<0;故m的取值范围是(-1,0).

(15分钟·30分)
1.(4分)已知a是函数f(x)=ln x-lox的零点,若0<x0<a,则 (　　)

A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定
【解析】选C.根据题意,函数f(x)=ln x-lox=ln x+log2x,其定义域为(0,+∞),且为增函数,a是函数
f(x)=ln x-lox的零点,则f(a)=0,
若0<x0<a,则f(x0)<f(a)=0.
2.(4分)若方程|lg x|-+a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 (　　)

A. B.
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【解析】选B.因为|lg x|-+a=0有两个不相等的实数根⇔函数y=|lg x|与 函数 y=-a的图象有两个不同的交点,在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,如图:

要使两个函数的图象有两个交点,
必须有-a>0,解得a<.
3.(4分)设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是________. 

【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x在(-∞,0]上有且仅有1个零点.

因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].
答案:(0,1]
4.(4分)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点的个数是__________.  
【解析】根据题意,函数f(x)=
当x≤0时,f(x)=2x,若函数F(x)=f(x)+x=0,即f(x)=-x,有2x=-x,
函数y=2x与y=-x的图象有1个交点,
则此时函数F(x)=f(x)+x有1个零点;
当x>0时,f(x)=-,
若函数F(x)=f(x)+x=0,
即f(x)=-x,有=x,解可得x=1,
此时函数F(x)=f(x)+x有1个零点;
综合,函数F(x)=f(x)+x的零点的个数是2.
答案:2
5.(14分)已知a∈R,函数f(x)=

(1)求f(1)的值.
(2)求函数f(x)的零点.
【解析】(1)当x>0时,
f(x)=1-,所以f(1)=1-=0.
(2)①当x>0时,令f(x)=0,即1-=0,
解得x=1>0.所以1是函数f(x)的一个零点.
②当x<0时,令f(x)=0,
即(a-1)x+1=0.(*)
当a>1时,由(*)得x=<0,
所以是函数f(x)的一个零点;
当a=1时,方程(*)无解;
当a<1时,由(*)得x=>0(舍去).
综上所述,当a>1时,函数f(x)的零点是1和;当a≤1时,函数f(x)的零点是1.

1.已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是________.  
【解析】函数f(x)=
当x≥1时,方程f(x)=2,可得ln x+1=2,
解得x=e,函数有一个零点,
当x<1时,函数只有一个零点,即x2-4x+a=2,
在x<1时只有一个解.
因为y=x2-4x+a-2开口向上,对称轴为:x=2,
x<1时,函数单调递减,所以f(1)<2,
可得:-3+a<2,解得a<5.
答案:(-∞,5)
2.已知f(x)=+.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由.
(2)设g(x)=f(x)-a,若函数g(x)没有零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f(x)是奇函数,理由如下:
由2x-1≠0,2x≠1,得x≠0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且对于∀x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有
-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(x)=+=,
所以f(-x)=
==
=-=-f(x),
则f(x)是奇函数.
(2)函数g(x)=f(x)-a没有零点,
则方程f(x)=a没有实根,
对于f(x)=+,
当x>0时,2x>1,则2x-1>0,
则有+>,
则在(0,+∞)上,f(x)>,
又由函数f(x)为奇函数,
则当x<0时,f(x)<-,
故函数f(x)的值域为
∪;
则当-≤a≤时,f(x)=a无实根,
此时函数g(x)没有零点.

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