2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解应用案巩固提升新人教A版必修第一册.doc

4.5.1 函数的零点与方程的解
[A　基础达标]
1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
3.4
2.6
－3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，＋∞)
解析：选C.若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上一定存在零点．
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为　(　　)
A.，0 B．－2，0
C. D．0
解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0.
3．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是(　　)
A．f(3)<0
B．函数f(x)在定义域内是增函数
C．f(3)>0
D．函数f(x)在定义域内是减函数
解析：选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数．
4．函数f(x)＝x3－的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：选B.作出y＝x3与y＝的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.

5．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．3
解析：选A.f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：3
7．已知函数f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．
解析：依题意有a＋log2a＝1，
即log2a＝1－a，
易知a＝1，
所以f(x)＝1＋log2x，令f(x)＝0，得x＝.
答案：
8．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，
所以函数只有一个零点2，符合题意；
当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.
综上a＝或a＝0.
答案：
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x4－x2；
(2)f(x)＝4x＋5；
(3)f(x)＝log3(x＋1)．
解：(1)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
所以x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(2)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(3)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．
(1)求c的值；
(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；
(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．
解：(1)因为1为函数f(x)的零点，
所以f(1)＝0，即c＝1.
(2)证明：设0≤x1<x2≤2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝，
因为0≤x1<x2≤2，
所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，
所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数．
(3)令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，
所以ex＝2，即x＝ln 2，
所以函数g(x)的零点是ln 2.
[B　能力提升]
11．方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为(　　)
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C.令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，所以方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为(2，3)．
12．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3　0
13．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0] 内是否有解，为什么？
解：方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解，理由如下：
因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续不断的曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
14．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．

需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
[C　拓展探究]
15．已知函数f(x)＝.
(1)当a＝1时，判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)试讨论f(x)的零点个数．
解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝，该函数为奇函数．
证明如下：依题意得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)化简得f(x)＝a－，所以f(x)＝0⇔a＝，因为函数y＝2x在R上单调递增且值域为(0，＋∞)，所以y＝在R上单调递减且值域为(0，2)，所以当a≤0或a≥2时，函数f(x)无零点；当0<a<2时，函数f(x)有唯一零点．

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