2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用章末综合检测六新人教A版必修第二册.doc

章末综合检测(六)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
2．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)
A．135° B．90°
C．45° D．30°
解析：选C.由正弦定理＝⇒＝，则sin A＝sin B＝.因为a<b，所以A<B，所以A＝45°.
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，则b＝(　　)
A．3 B．2
C．2 D.
解析：选C.由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c，所以b＝2.
4．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B.
5．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　)
A．(2，16) B．(－2，－16)
C．(4，16) D．(2，0)
解析：选A.设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)．所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以解得故选A.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选D.由余弦定理a2＋c2－b2＝2accos B，得2ac·sin B＝ac，得sin B＝，由正弦定理＝，得＝sin B＝，故选D.
7．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C，且a>c，cos B＝，则＝(　　)
A．2 B.
C．3 D.
解析：选A.因为sin2B＝2sin Asin C，所以由正弦定理，得b2＝2ac.又a>c，cos B＝，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac×＝2ac，即2×－5×＋2＝0，解得＝2或(舍去)，故选A.
8．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析：选C.由＋＝0，即＝，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(－)·＝0，即·＝0，可得⊥，所以四边形一定是菱形，故选C.
9．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝2，则·＝(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选C.·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝4－6＝－2.
10．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
11．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积等于(　　)
A．16 B．
C．18 D．32
解析：选A.设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则，解得或
所以cos∠BAD＝＝，所以sin∠BAD＝，S＝4×5×＝16.
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，已知△ABC的面积S＝bcsin A＝10，b＝4，则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由3acos C＝4csin A得＝，又由正弦定理＝，得＝⇒tan C＝，由S＝bcsin A＝10，b＝4⇒csin A＝5，由tan C＝⇒sin C＝，又根据正弦定理，得a＝＝＝.故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λa＋b与a＋2b平行，
所以λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，又向量a，b不平行，
所以所以
答案：
14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．
解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，
cos C＝＝－，
又0<C<π，因此角C＝.
答案：
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.若sin B＝2sin A，则△ABC的面积为________．
解析：因为sin B＝2sin A，所以b＝2a.
又因为c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.
所以a＝，b＝.
所以S△ABC＝absin C＝.
答案：
16．某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________米．
解析：示意图如图，设塔高x米，则BC＝x米，BD＝x米(x>0)．
因为CD＝100米，∠BCD＝80°＋40°＝120°，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，
所以3x2＝x2＋1002－2×100×x×，
所以2x2－100x－10 000＝0.
所以x2－50x－5 000＝0.所以x＝100或x＝－50(舍去)．
答案：100
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；
(2)c⊥d.
解：由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
所以15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
所以k＝－.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为4，求b，c的值．
解：(1)因为cos B＝，所以sin B＝.
因为a＝2，b＝4，所以sin A＝＝＝.
(2)因为S△ABC＝4＝×2c×，所以c＝5，
所以b＝＝.
19．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝.设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)．因为＝(－7，－2)，所以解得即点A的坐标为(10，7)．
20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
解：(1)因为c＝2，C＝60°，由正弦定理＝＝，得＝＝＝＝＝，
所以＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即
4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
因为a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．
所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.
21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，故
sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得
17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.
(2)由cos B＝得sin B＝，故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××
＝4.
所以b＝2.
22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
解：(1)因为c＝4，b＝2，2ccos C＝b，
所以cos C＝＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝，
所以a＝4，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，
所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的平分线，
所以＝＝＝2，
又＝，所以＝2，
所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.
又因为cos C＝，所以sin C＝＝.
所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝×DC×AC×sin C－EC×AC×sin C＝×DE×AC×sin C＝.

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