2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十指数函数的图象和性质的应用新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 三十
　指数函数的图象和性质的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)关于函数f(x)=的说法中,正确的是 (　　)
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上单调递增
D.在(0,+∞)上单调递减
【解析】选B、C.f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;当x增大时,3x,-3-x=-均增大,
故f(x)增大,故函数f(x)为增函数.
2.已知函数f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图象是(　　)

【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),
所以f(x)在(0,2)内单调递减,所以0<a<1.
3.函数y=的单调递增区间是 (　　)
A.(-∞,2]　　　　　 B.[2,+∞)
C.[1,2] D.[1,3]
【解析】选A.令u=-3+4x-x2,因为y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].
4.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是
(　　)
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)<f(1) D.不能确定
【解析】选A.因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上单调递增,且它的图象关于直线x=-1对称,
可得函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减.
再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是________. 
【解析】因为函数f(x)=是R上的减函数,所以求得0<a≤.
答案:(0,]
6.函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是______.若在区间[-1,1]上具有严格的单调性,则实数a的取值范围是________. 
【解析】y=在(-∞,3)上递增,即二次函数y=-x2+ax-1在(-∞,3)上递增,因此需要对称轴x=≥3,解得a≥6.
若函数在[-1,1]上具有严格的单调性,则≤-1或≥1,解得a≤-2或a≥2.
答案:a≥6　a≤-2或a≥2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=ax-1(x≥0),其中a>0且a≠1.
(1)若f(x)的图象经过点,求a的值.
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象过点,所以,a2-1=,则a=.
(2)f(x)=ax-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,当0<a<1时,ax-1≤a-1,所以f(x)的值域为(0,a-1];当a>1时,ax-1≥a-1,所以f(x)的值域为[a-1,+∞).
【加练·固】函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调增区间.
(2)x∈[-1,2]时,求f(x)的值域.
【解析】(1)令t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,因为h(t)=是减函数,
t=x2-2x在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
(2)由t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,
因为-1≤x≤2,所以t∈[-1,3],
所以f(x)∈[,3].
8.(14分)设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x值的取值范围.
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.
【解析】(1)f(3)=,即=,
所以10-3a=1,解得a=3.
由f(x)=≥4=,
即10-3x≤-2,解得x≥4.
(2)当a>0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时单调递增,
则x=2时,函数取最大值=16,
即10-2a=-4,解得a=7,
当a<0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时单调递减,
则x=-1时,函数取最大值=16,
即10+a=-4,解得a=-14,
综上可得:a=7或a=-14.
(15分钟·30分)
1.(4分)若a=π-2,b=aa,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
【解析】选B.由题意得,0<a<1,故0<aa<1,a-1<0,
所以==aa-1>1,故b>a,
===aa-b>1,故b>c,
==>1,故c>a,
综上知,b>c>a.
2.(4分)已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,] B.[,+∞)
C.[0,] D.[,1]
【解析】选A.当x≤0时,f(x)=3-x单调递减,且f(x)≥1,当x>0时,f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,

抛物线开口向下,
此时f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)<1,
综上f(x)是减函数,
若f(a-1)≥f(-a),则a-1≤-a,即a≤,
则实数a的取值范围是(-∞,].
3.(4分)若函数f(x)=ax-1(a>1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则a=________.  
【解析】因为函数f(x)=ax-1(a>1)在区间[2,3]上单调递增,
所以f(x)max=f(3)=a2,f(x)min=f(2)=a,
由题意可得a2-a=,解得a=(a>1).
答案:
4.(4分)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上单调递增,则a=________.  
【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,
所以a=2,m=.
此时g(x)=-x2在[0,+∞)上单调递减,不合题意.
当0<a<1时,有a-1=4,a2=m,
所以a=,m=.检验知符合题意.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8), B(3,32).
(1)试求a,b的值.
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,8),B(3,32),
所以解得
(2)设g(x)=+=+,
y=g(x)在R上是减函数,
所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.
若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.

1.若2x-5-x≤2-y-5y,则有 (　　)

A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≤0 D.x-y≥0
【解析】选B.构造函数f(x)=2x-5-x,易得函数f(x)单调递增,由2x-5-x≤2-y-5y,
可得f(x)≤f(-y),所以x≤-y⇒x+y≤0.
2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a·+.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=1++.
令t=,由x<0可得t>1,
f(x)=h(t)=t2+t+1=+,
因为h(t)在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)>h(1)=3,
故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,
故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,则当x≥0时,|f(x)|≤3恒成立.
故有-3≤f(x)≤3,
即-4-≤a·≤2-,
所以-4·2x-≤a≤2·2x-.
求得-4·2x-的最大值为-4-1=-5,
2·2x-的最小值为2-1=1,
故有-5≤a≤1,即a的取值范围为[-5,1].
【加练·固】
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)= .
(1)求a的值.
(2)证明f(x)+f(1-x)=1.
(3)求f+f+f+…+f的值.
【解析】(1)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,
而函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减.
所以a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去),所以a=4.
(2)因为f(x)=,
所以f(x)+f(1-x)=+
=+=+=+=1.
(3)由(2)知,f+f=1,
+f=1,
…f+f=1,
所以f++f+…+f=++…
+=1+1+1+…+1=1 005.

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