光在晶体中传播的几何法描述.pptx
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1、几何图形能使我们几何图形能使我们直观地看出晶体中光波直观地看出晶体中光波的各个矢量的各个矢量场间的方向关系,以及与各传播方向相应的场间的方向关系,以及与各传播方向相应的光速或折光速或折射率的空间取值分布射率的空间取值分布。5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述x1x2x3n1n2n3几何方法仅仅是一种几何方法仅仅是一种表示方法表示方法,它的基础仍然是上面,它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的
2、几何法描述人们引入了人们引入了折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等六种三维曲面等六种三维曲面.折射率椭球折射率椭球折射率曲面折射率曲面菲涅耳椭球菲涅耳椭球射线曲面射线曲面1.折射率椭球折射率椭球1)折射率椭球方程折射率椭球方程由光的电磁理论知道,在主轴坐标系中,由光的电磁理论知道,在主轴坐标系中,晶体中的电晶体中的电场储能密度为场储能密度为1)折射率椭球方程折射率椭球方程故有故有在给定能量密度在给定能量密度 e 的情况下,的情况下,该方程为该方程为D(D1、D2、D3)空间的椭球面空间的椭球面
3、。1)折射率椭球方程折射率椭球方程若令若令则有则有1)折射率椭球方程折射率椭球方程或或它就是在主轴坐标系中的它就是在主轴坐标系中的折射率椭球方程折射率椭球方程。对于任一。对于任一特定的晶体,折射率椭球由其光学性质特定的晶体,折射率椭球由其光学性质(主介电常数主介电常数或主折射率或主折射率)唯一地确定。唯一地确定。x1x2x3n1n2n32)折射率椭球的性质折射率椭球的性质若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量 k,再过坐,再过坐标原点作一平面标原点作一平面(k)与与 k 垂直。垂直。x3x1k2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质(k)与椭球的截线为一椭圆,椭圆
4、的半长轴和半短轴与椭球的截线为一椭圆,椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作的矢径分别记作 ra(k)和和 rb(k),则可以证明折射率椭则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质:球具有下面两个重要的性质:x3x1k2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质x3x1k与波法线方向与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光的折射率相应的两个特许线偏振光的折射率 n 和和 n,分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长,分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长,即即 2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质与波法线方向与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光相应的两个特许线偏振光 D 的振的振动方向动方向 d 和和 d,分别
5、平行于,分别平行于 ra 和和 rb,即,即这里,这里,d 是是 D 矢量方向上的单位矢量矢量方向上的单位矢量。2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质只要给定了晶体,知道了晶体的主介电张量,就可以只要给定了晶体,知道了晶体的主介电张量,就可以作出相应的折射率椭球。作出相应的折射率椭球。x3x1k从而就可以通过上述的几何作图法定出与从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量波法线矢量k 相应的两个特许线偏振光的折射率和相应的两个特许线偏振光的折射率和 D 的振动方向的振动方向。现在证明上述结论现在证明上述结论:由空间解析几何理论,与波法线由空间解析几何理论,与波法线 k 垂直的中心截面垂直的中
6、心截面(k)上的椭圆,上的椭圆,应满足下面两个方程应满足下面两个方程:x3x1k由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值,所以,可以通过对满足所以,可以通过对满足(73)式、式、(74)式的式的 r2x12 x22+x32 求极值来确定求极值来确定 ra(k)和和 rb(k)。根据根据拉格朗日待定系数法拉格朗日待定系数法,引入两个乘数,引入两个乘数 2l 和和 2,构成一个函数,构成一个函数:求解求解 ra(k)和和 rb(k)的问题就变成了对的问题就变成了对 F 求求极极值的问值的问题。题。而而 F 取极值的必要条件是它对取极值的必要条件是它对
7、 x1、x2、x3 的一的一阶导数为零,即阶导数为零,即将将(76)式的三个式子分别乘以式的三个式子分别乘以 x1、x2、x3,然后相加,然后相加,利用利用(73)式和式和(74)式关系,得式关系,得再将再将(76)式的式的三个式子分别乘以三个式子分别乘以 k1、k2、k3,然后相,然后相加,并再次利用加,并再次利用(73)式关系,得到式关系,得到将将(77)式、式、(78)式得出的式得出的 1 和和 2 关系代入关系代入(76)式,式,可得可得这三个方程就是与这三个方程就是与 k 垂直的椭圆截线矢径垂直的椭圆截线矢径 r 为极值时为极值时所满足的条件所满足的条件,也就是椭圆两个主轴方向的矢径
8、也就是椭圆两个主轴方向的矢径 ra和和 rb 所满足的条件所满足的条件。将将(79)式与式与(38)式进行比较可见,式进行比较可见,二式的差别只是符号二式的差别只是符号不同不同。如果我们进行如下的代换:如果我们进行如下的代换:并注意到并注意到 Di/0iEi,则,则(79)式可以写成式可以写成这组关系式就是晶体中与这组关系式就是晶体中与 k 相应的两个特许线偏振相应的两个特许线偏振光的光的 D 矢量和折射率所遵从的关系矢量和折射率所遵从的关系(38)式。式。考虑到考虑到 x1:x2:x3D1:D2:D3和和 rn,r 的方向就是满的方向就是满足足(80)式的式的 D 方向,方向,r 的长度就是
9、满足的长度就是满足(80)式的式的 n。通过中心与通过中心与 k 垂直的椭圆截面两个主轴矢径垂直的椭圆截面两个主轴矢径 ra 和和 rb 的方向的方向,就是波法线矢量为,就是波法线矢量为 k 的两个特许编振光的两个特许编振光 D 矢量的振动方向矢量的振动方向,两个半轴长,两个半轴长 ra 和和 rb 就是分别与就是分别与这两个线偏振光相应的折射率这两个线偏振光相应的折射率。椭球的椭球的三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根,其方向分别与介电主轴方向一致。其方向分别与介电主轴方向一致。x1x2x3n1n2n3通过椭球中心的每一个矢径方向,代表通过椭球中心
10、的每一个矢径方向,代表 D 的一个振的一个振动方向,其长度为动方向,其长度为 D 在此方向振动的光波折射率在此方向振动的光波折射率,故故矢径可表示为矢径可表示为 rnd。所以,。所以,折射率椭球有时也称为折射率椭球有时也称为(d,n)曲面曲面。x3x1k3)利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法方向的几何方法利用折射率椭球除了确定相应于利用折射率椭球除了确定相应于 k 的两个特许线偏的两个特许线偏振光振光 D 矢量的矢量的振动方向和折射率振动方向和折射率外,还可以借助于外,还可以借助于下述几何方法,下述几何方法,确定确定 D、E、k、s 各矢量的方向各矢量的方向。x
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- 晶体 传播 几何 描述
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