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一次函数复习课教案

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：
授课类型
T（一次函数基本概念）
C （一次函数图像与性质的应用）
T （一次函数综合应用）
授课日期及时段

教学内容

一、同步知识梳理
1.一般的若（，是常数，且），那么叫做的一次函数，
当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数。
2. 正比例函数（）是一次函数的特殊形式,当x=0时，y=0,故正比例函数图像过原点（0,0).
3. 一次函数的图像和性质：
一次
函数
()
，
符号

图象

性质
随的增大而增大
随的增大而减小
说明：（1）与坐标轴交点（0，b）和（-，0）, b的几何意义：_____________________
（2）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（3）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。
（4）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位可得y=kx+b的图像；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位可得y=kx+b的图像.
4.直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．
①k1≠k2y1与y2相交；
②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
③y1与y2平行；
④y1与y2重合.

5.一次函数解析式的确定，主要有三种方法：
　　(1)由已知函数推导或推证
　　(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式。
(3)用待定系数法求函数解析式。

二、同步题型分析
题型一：一次函数的概念
例1.已知函数y=(m-2)+3,当m为何值时，y是x的一次函数？
解析：根据一次函数的定义，x的次数必须为1，系数不为0，即可求出m的值。

练习：1.已知函数y=(m-1)x+m是一次函数，求m的范围。
2.已知函数y=(k-1)x+k-1,当k____________时，它是一次函数，当k__________时，它是正比例函数。
答案：1.m≠1 2. ≠1, -1

题型二：一次函数的图像与性质
例1.对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）
　 A． 函数值随自变量的增大而减小
　 B． 函数的图象不经过第三象限
　 C． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
　 D． 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）

解析：这是探究型题目，考查一次函数的性质；一次函数图象与几何变换。
分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
答：选D
A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确；
B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确；
C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确；
D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误．
练习：1.如图，两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

2.一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）B
（A）y随x的增大而增大 （B）y随x的增大而减小
（C）图像经过原点 （D）图像不经过第二象限
3.如果，，则直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

题型三：一次函数解析式和图象的确定

例1.直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
分析：确定一次函数解析式问题，用待定系数法，同时要寻求隐含条件，从而确定k和b的值。
解 ∵点B到x轴的距离为2， 　∴点B的坐标为（0，±2），
　 　设直线的解析式为y=kx±2,
　　 ∵直线过点A（-4，0）， ∴0=-4k±2,
　　 解得：k=±, 　∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.
例2.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

答：选C．

练习：
1. 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
分析：
待定系数法求一次函数解析式。本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式
解答：
解：（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2．
（2）点C的坐标是（2，2）．
2.周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（　D　）

A．

B．

C．

D．

分析：本题是一次函数的应用题，考查了函数图象，根据题意判断出旗子的高度与时间是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键
三、 课堂达标检测
1.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .
2.下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
3.写出图象经过点(1，－1)的一个一次函数关系式
0
2
－4
x
y
4.已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 y<-2 ．

5.若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）．
（A）k< （B）<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<
6.在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（　　）
　　A．　　B．　　C．　　D．
7. 若y+2与x-3成正比例，且当x=0时，y=1,则当x=1时，y等于 （ B ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2

四．师生小结＜ 建议用时5分钟！＞
1.熟悉一次函数的一般形式，会判断一次函数。
2.一次函数的图像和性质是中考重点。
3.用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：一设、二列、三解、四还原。
4.会简单的一次函数应用题：（1）建立函数数学模型的方法;(2)分段函数思想的应用。

一． 专题导入
通过模块一同步训练的学习，我们熟悉了一次函数图像和性质，那么一次函数图像的与其他图形的结合会是什么样？它与我们以前学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次不等式组有着什么样的练习？通过专题学习，来认识并掌握它们之间的练习。
二、 专题精讲
题型一 一次函数与几何图形的面积
例1.已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。
　　分析：画草图如下：

　　则OA=13，=30，
　　则列方程求出点A的坐标即可。
　　解：设图象上一点A（x, y）满足

　　解得：；；；
　　代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.
∴y=-x或y=-x.
练习：
1.一次函数y=2x-3的图像与y轴交于点A，另一个一次函数与y轴交于点B,两直线交于点C,C点的纵坐标是 1，且S△ABC =16，求另一条直线的解析式。 y=-6x+13 或 y=10x-19
题型二 一次函数图像的位置关系
例1. 将直线向下平移3个单位所得直线的解析式为___________________.
解析：考查两个一次函数图像的位置关系，两个图像有平行和相交的关系。
此题目是由一次函数图像的平移而与原函数平行。一次函数y=kx+b向上平移h个单位的到的函数是 y=kx+(b+h),向下平移h个单位，则得到的函数是y=kx+(b-h),其中h>0.
答：

练习：1.直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
　 　解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，
　　 ∴k=-4,
∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，
∴b=18，
∴y=-4x+18。

题型三 一次函数与一元一次方程
例1.利用函数图像求方程6x-3=x+2的解
解析： 把原方程化简为4x-5=0，然后画出函数y=5x-5的图像，看直线与x 轴的交点为（1,0），故可得x=1
归纳总结：求一元一次方程ax+b=0(a、b为常数，a≠0)的值，从函数图像看，相当于求直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标。

练习1：已知直线y=-2x+4,与x轴交点坐标是_________,所以方程-2x+2=-2的解是____________.

题型四 一次函数与一元一次不等式
例1.如图，直线y=kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是　 　．

考点：一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质。
分析：根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y＜0，即可求出答案．
解答：解：∵直线y=kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），
∴y随x的增大而增大，
当x＜﹣2时，y＜0， 即kx+b＜0． 故答案为：x＜﹣2．
点评：本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握。
归纳总结：从一次函数角度看一元一次不等式，就是求一次函数的值大于或小于0的自变量x的取值范围；或者就 是确定直线y=ax+b在x轴上或下方部分所有的点的横坐标集合。
练习：1.已知y1=x-5，y2=2x+1．当y1>y2时，x的取值范围是（ ）．
A．x>5 B．x< C．x<-6 D．x>-6
题型五 一次函数与二元一次方程组
例1.两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组错误！未找到引用源。的解是（　　）

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D．
考点：一次函数与二元一次方程（组）
分析：由题意两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），所以x=﹣2．y=3就是方程组错误！未找到引用源。的解．
解答：选B ∵两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），
∴就是方程组错误！未找到引用源。的解．
∴方程组的错误！未找到引用源。解为：错误！未找到引用源。．
点评：本题主要考查了二元一次方程（组）和一次函数的综合问题，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的 解，认真体会一次函数与一元一次方程之间的内在联系．
归纳总结：二元一次方程的解可以看做是两个一次函数的图像的交点的坐标

三．专题过关：
1．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）16
2.过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．

4.已知2x-y=0，且x-5>y，则x的取值范围是________．

图1 图2

5.如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（  ）毛
A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0

6.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
则关于的不等式的解集为______．
7.一次函数中，当时，＜1；当时，＞0则的取值范围是____
四、学法提炼
1. 一次函数图像与其他图形的结合，要求熟悉函数图像和性质，并要习惯画草图。求几何面积的突破点就是找到直线与x,y轴的交点坐标。
2. 一次函数图像的位置平移，可归纳为：上加下减。
3,、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，体现了“数、形”结合思想，学会数形转换的数学解题能力。

一、能力培养
引例： 数学是贴近生活的学科，并不是纸上谈兵，不仅可以锻炼你的理性思维能力，还能帮你解决实际问题，比如买什么样的电话卡。
为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间（min）与通话费y（元）的关系如图所示：
(1)分别求出通话费（便民卡）、 （如意卡）与通话时间之间的函数关系式；
(2)请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？

例1.随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：
类别
甲
乙
进价（万元/台）
10.5
6
售价（万元/台）
11.2
6.8
（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？
（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．
（注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，根据：用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求x的取值范围，再求正整数x的值，确定方案；
（2）根据：利润=（售价﹣进价）×辆数，总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出函数关系式，根据x的取值范围求最大利润．
解：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，依题意，得
228≤10.5x+6（30﹣x）≤240，
解得10错误！未找到引用源。≤x≤13错误！未找到引用源。，∴整数x=11，12，13，
有三种进货方案：购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆；
购进甲款轿车12辆，购进乙款轿车18辆；
购进甲款轿车13辆，购进乙款轿车17辆．
（2）设总利润为W（万元），则W=（11.2﹣10.5）x+（6.8﹣6）（30﹣x）=﹣0.1x+24，
∵﹣0.1＜0，W随x的减小而增大，
∴当x=11时，即购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆，利润最大，
最大利润为W=﹣0.1×11+24=22.9万元．
点评：本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的关系，利用一次函数的增减性求解．
例2.某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
（注：总成本=每吨的成本×生产数量）

考点：一次函数的应用。
解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（10，10）（50，6）代入解析式得：
，
解得：，
y=﹣x+11（10≤x≤50）
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，
x（﹣x+11）=280，
解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去），
故该产品的生产数量为40吨．

三．综合练习：
1.我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，
(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；
(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

2.下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量y（L）与进水时间x（min）的函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）进水多少分钟后，水箱中的水量超过100L？

四．能力点评
1.用一次函数解决生活中的方案选择问题，即最值问题，是中考热点与难点问题。根据实际问题列出函数表达式及图像，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，分情况讨论，然后结合增减性确定出最大值或最小值。
2.一次函数的解决实际问题。要求结合具体情境体从不同角度会一次函数意义，体现了数学的价值。要求具有建立数学模型的解题能力。

学法升华

一、 知识收获
1、一次函数的一般形式是什么？
2、一次函数中k、b怎么确定了函数的图像
3、一次函数图像的性质
4、一次函数怎样平移？

二、 方法总结
1、在根据一次函数图像如何判定各项系数？
2、解析式的求解法？
3、一次函数平移的口诀是什么？
4、一次函数与方程不等式结合时，怎样数形结合？
5、一次函数的怎么求最值？

课后作业
1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（ ）
（A）一象限 （B）二象限 （C）三象限 （D）四象限
3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）16
4．已知2x-y=0，且x-5>y，则x的取值范围是________．

5．关于x的方程3x+3a=2的解是正数，则a________．
6.一次函数（为常数且）的图象如图所示，则使成立的的取值范围为 ．x＜-2

7.已知直线与的交点为（-5，-8），则方程组的解是________．
8.若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为________．

9. 已知一次函数
（1）当取何值时，函数的值在与之间变化?
（2）当从到3变化时，函数的最小值和最大值各是多少?

10.已知一次函数求：
（1）为何值时，随的增大而减小；
（2）分别为何值时，函数的图象与轴的交点在轴的下方？
（3）分别为何值时，函数的图象经过原点？
（4）当时，设此一次函数与轴交于A，与轴交于B，试求面积。

11.为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图像回答下列问题；[中国教~#育出*版网%@]
（1）档用地阿亮是180千瓦时时，电费是 元；
（2）第二档的用电量范围是 ；
（3）“基本电价”是 元/千瓦时；
（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？ 电费（元）
用电量（千瓦时）
180
450
540
108
283.5
364.5
A
B
C