2019_2020学年新教材高中数学单元素养评价二新人教A版必修第一册.doc

单元素养评价(二)
(第三章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=1(-1≤x<1).其中与函数y=1是同一个函数的有 (　　)
A.3个　　　B.2个　　　C.1个　　　D.0个
【解析】选D.(1)要求x≠0,与函数y=1的定义域不同,两函数不是同一个函数;(2)虽然化简后为y=1,但要求t≠-1,即定义域不同,不是同一个函数;(3)显然定义域不同,故不是同一个函数.
2.已知函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为 (　　)
A.-2 B.3
C.-2或3 D.2或-3
【解析】选B.函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=3或m=-2,又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以m-1>0,故m=3.
3.下列函数是奇函数的是 (　　)
A.y=2x2-3 B.y=
C.y=x,x∈[0,1] D.y=x
【解析】选D.A中函数为偶函数,B,C中函数定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,D中函数定义域为R,图象关于原点对称,为奇函数.
4.函数f(x)=则f的值为 (　　)
A. B.- C. D.18
【解析】选C.由题意得f(3)=32-3-3=3,那么=,
所以f=f=1-=.
5.已知函数f(x)=-x,则下列选项错误的是 (　　)
A.f(x+1)=f(x)+1　 B.f(3x)=3f(x)
C.f(f(x))=x　 D.f=
【解析】选A.根据题意,依次分析选项:对于A,
f(x+1)=-(x+1)=-x-1,f(x)+1=-x+1,f(x+1)≠f(x)+1,错误;对于B,
f(3x)=-3x,3f(x)=3(-x)=-3x,
f(3x)=3f(x),正确;对于C,f(x)=-x,
f(f(x))=-(-x)=x,正确;对于D,
f=-=-,==-,
则f=,正确.
6.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为 (　　)
A.[3,+∞)　 B.(-∞,2),(4,+∞)
C.(2,3),(4,+∞)　 D.(-∞,2],[3,4]
【解析】选C.函数f(x)=|x2-6x+8|,
当x2-6x+8>0,即x>4或x<2时,
可得f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,
即有f(x)在(4,+∞)上递增;
当x2-6x+8<0,即2<x<4时,
可得f(x)=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,
即有f(x)在(2,3)上递增;
则f(x)的增区间为(2,3),(4,+∞).
7.已知函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),则a= (　　)
A.-1　 B.- C. D.1
【解析】选B.根据题意,函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),则二次函数的对称轴x=-=1,解得a=-.
8.函数f(x)=的图象大致是 (　　)

【解析】选A.因为函数f(x)=,是奇函数,当x=时,y=>0,故D错误;x<-1时,y>0恒成立;x>1时,y<0恒成立,故B和C错误,由排除法得正确选项是A.
9.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=-2,则满足f(x-1)≥-2的x的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.[-1,-3]
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
【解析】选B.根据题意,偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=-2,
可得f(x)=f(|x|),若f(x-1)≥-2,
即有f(|x-1|)≥f(2),
可得|x-1|≥2,解得:x≤-1或x≥3,
即x的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
10.某地实行阶梯电价,以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过2 880度(1度=1千瓦时)的电量,执行第一档电价标准,每度电0.488 3元;全年超过2 880度至4 800度之间的电量,执行第二档电价标准,每度电0.538 3元;全年超过4 800度以上的电量,执行第三档电价标准,每度电0.788 3元.下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有 (　　)

参考数据:0.488 3元/度×2 880度≈1 406.30元,0.538 3元/度×(4 800-2 880)度+1 406.30元≈2 439.84元.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【解析】选B.依题意,当全年用电量在2 880度至4 800度之间时,电价分两段, 即全年电量中的2 880度(1度=1千瓦时)的每度电0.488 3元、超出部分按每度电0.538 3元计算, 故图象①不正确; 记用电量为x度,电费为f(x)元/年, 当0≤x≤2 880时,f(x)=0.488 3x,当2 880<x≤4 800时,f(x)=0.4 883×2 880 +0.538 3(x-2 880)=1 406.3+0.538 3(x-2 880),
当x>4 800时,
f(x)=2 439.84+0.788 3(x-4 800),
故②③均正确; 综上所述,正确的是②③.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应关系中,能构成从A到B的函数的有 (　　)

【解析】选A、C、D.根据函数的定义可知,A,C,D中的图形给出的对应关系能构成从A到B的函数.
12.下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是 (　　)
A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1
B.当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1
C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1
D.当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1
【解析】选A、D.当a<0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减,
当x=0时,函数取得最大值为1,
当x=2时,函数取得最小值为2a+1;
当a>0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增,
当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.
13.设函数f(x)的定义域为A,且满足任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2的函数可以是 (　　)
A.f(x)=2-x B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)= D.f(x)=(x-2)3
【解析】选A、C.方法一:A项,f(x)+f(2-x)=2-x+[2-(2-x)]=2为定值,故A项正确;
B项,f(x)+f(2-x)=2(x-1)2不为定值,故B项错误;
C项,f(x)+f(2-x)=+==2,符合题意,故C项正确;
D项,f(x)+f(2-x)=(x-2)3-x3不为定值,故D项不正确.
方法二:因为任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2,所以函数的图象关于点(1,1)中心对称,函数f(x)=2-x的图象是过点(1,1)的直线,符合题意;函数f(x)==1+的图象关于点(1,1)中心对称,符合题意;B,D项的两个函数的图象都不是关于点(1,1)的中心对称图形,不符合题意.
三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)
14.已知函数f(x)=,则f(1)=________,函数y=f(x)的定义域为______. 
【解析】由题意得,f(1)==2,由解得x≤5且x≠0,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,5].
答案:2　(-∞,0)∪(0,5]
15.已知3f(x)+2f(-x)=x+3,则f(x)的解析式为________. 
【解析】因为3f(x)+2f(-x)=x+3①,
用-x替换x得:3f(-x)+2f(x)=-x+3②,
①×3-②×2得:5f(x)=5x+3,
所以f(x)=x+.
答案:f(x)=x+
16.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围为________.  
【解析】因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上单调递减,且函数f(x)的图象的对称轴为x=a,所以a≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0,综上知,a的取值范围为(0,1].
答案:(0,1]
17.已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件:①在(-∞,0]上单调递减;②f(1)=-2.则使不等式f(x+1)≤-2成立的x的取值范围是________.  
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,f(1)=-2,
则由f(1+x)≤-2,即f(1+x)≤f(1),
可得:|x+1|≤1,解得:-2≤x≤0.
答案:-2≤x≤0
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判定f(x)的奇偶性并证明.
【解析】(1)由1-x2≠0,得x≠±1,
即f(x)的定义域为{x|x≠±1}.
(2)f(x)为偶函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1},
因为∀x∈{x|x≠±1},都有-x∈{x|x≠±1},
且f(-x)===f(x),
所以f(x)为偶函数.
19.(14分)已知函数f(x)=
(1)求f(-4),f(5)的值.
(2)画出函数f(x)的图象,并直接写出处于图象上升阶段时x的取值集合.
(3)当x∈[-2,0]时,求函数的值域.
【解析】(1)因为-4<0,5>0,
所以f(-4)=(-4)2+2×(-4)-3=5,
f(5)=-5-3=-8.
(2)如图所示,图象上升时x的取值集合为{x|-1≤x≤0}.

(3)当x∈[-2,0]时,函数的值域为[-4,-3].
20.(14分)若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.
【解析】(1)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.
因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,
根据系数对应相等所以
所以f(x)=x2-x+1.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(1+m)x+1的图象关于直线x=对称,
又函数g(x)在[2,4]上是单调函数,
所以≤2或≥4,解得m≤3或m≥7,
故m的取值范围是(-∞,3]∪[7,+∞).
21.(14分)定义在R上的偶函数f(x),当x∈(-∞,0]时,f(x)=-x2+4x-1.
(1)求函数f(x)在x∈(0,+∞)上的解析式.
(2)求函数f(x)在x∈[-2,3]上的最大值和最小值.
【解析】(1)根据题意,设x>0,则-x<0,
则f(-x)=-x2-4x-1,又由y=f(x)为偶函数,
则f(x)=-x2-4x-1,x∈(0,+∞).
(2)由(1)的结论:f(x)=
y=f(x)在x∈[-2,0]上单调递增,在x∈[0,3]上单调递减,
则f(x)max=f(0)=-1;f(x)min
=min{f(-2),f(3)}=f(3)=-22,
函数f(x)在[-2,3]上的最大值是-1,最小值是-22.
22.(14分)设函数f(x)=-5x+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值.
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义法证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.
【解析】(1)因为f(x)是奇函数,x≠0,
所以f(-x)=-f(x),
所以-+5x+a=-+5x-a,
所以2a=0,所以a=0,经检验a=0为所求.
(2)f(x)=-5x的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调增区间,
当x>0时,设0<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=+5(x2-x1)
=(x2-x1)>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
23.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间是f(x)=
(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,根据上述分析结果回答下列问题:
(1)请你说明,当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
【解析】(1)由题意知,当0<x≤30时,
f(x)=30<40,公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间;
当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,
即(x-20)(x-45)>0,解得x<25(舍去)或x>45,
所以45<x<100,所以当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0<x≤30时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-,
当30<x<100时,
g(x)=x%+40(1-x%)=-+58,
所以g(x)=
当0<x≤30时,g(x)=40-单调递减,g(30)=37,
当30<x<100时,g(x)=-+58=(x-32.5)2+36.875,且g(30)=37,
所以函数g(x)在(0,32.5)上单调递减,
在(32.5,100)上单调递增,
实际意义:说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递减的;
大于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最短.

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