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一次函数的图像与性质

一次函数的图像与性质
寺口中学 闫伟超
 一、教材分析
一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是刻画现实世界变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习初、高中其它函数的基础。为此，在教学中，通过设置问题，鼓励学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想等思想方法，从而激发学生学习函数的信心和兴趣，这也是教学目标。
本节课是学生学习了正比例函数与一次函数的概念和函数图像画法基础之上，通过探究使学生掌握正比例函数和一次函数图像和性质，并能应用性质解决简单问题。
二、学情分析
七年级学生思维灵活，喜欢动手，经过一年的初中学习，已经有了一定的探究问题的经验和能力，能够在问题的引导下自主或者合作探究。
三、 教学目标的确定
根据本节课的内容特点、学情和新课标的要求，确定本节课的教学目标：
知识与技能目标：经历探索由一次函数图像观察归纳一次函数性质的过程，掌握并应用性质解决问题。
过程与方法目标：经历观察 、猜想、实验、归纳、总结、交流等数学活动过程，引导学生学会探索问题的一般方法，同时渗透数形结合、数学建模、类比和分类讨论数学思想。
情感态度价值观目标：通过数学实验、自主探究和合作交流，增强合作意识和敢于猜想、乐于探究的良好品质，体验成功的喜悦。
四、教学重点和难点
教学重点是一次函数的图像和性质
教学难点是由一次函数的图像实验归纳出一次函数的性质及对性质的理解。
五、教学方法：数学实验法、自主探究式教学方法
六、教学手段：几何画板软件及自制几何画板课件
七、教学过程设计
教学
环节
教     学    过    程
设 计 意 图

创设情境、引入新课

教师提出问题：谁能获胜？
小明和爸爸比赛跑步，小明速度为每秒1.5米，爸爸速度为每秒2米。小明在爸爸前面2米，两人同时出发。分别写出两人距爸爸起跑点的距离y与出发的时间x的关系式？谁能获胜？
学生说出解析式： 和  
教师引导学生回忆正比例函数和一次函数的定义和一般形式。
谁能获胜这个问题，先让学生充分讨论。若能讨论解决，引导学生换个角度用图像直观形象地解决。
若学生还不能解决，教师适时指出要想解决这个问题我们可以借助函数图像来研究，从而自然引出课题—一次函数的图像和性质，教师板书这堂课的课题内容.
通过提出实际问题。学生列出函数解析式，从而复习一次函数和正比例函数的定义与关系，用解析法表示函数，自然引出用图像法研究函数的必要性，为下面的探究从最简单的一次函数—正比例函数入手研究问题作铺垫。
这个问题没有给出明确的路程，就是引导学生学会何时分类，如何分类，同时发挥图像形象和直观的优势。

实验
探究
发现
新知

实验探究一：正比例函数的图像和性质
（环节一）提问正比例函数和一次函数的定义和它们的关系。
（环节二）提出研究问题：的图像特征和函数性质。引导学生通过几何画板软件自主选择函数，观察猜想归纳图像特征和函数性质，并验证自己的猜想。
（环节三）教师再结合学生的探究实验，配合动态演示，让学生看到的变化对直线的影响。进一步引导学生用准确的数学语言概括性质。
（环节四）引导学生证明函数的增减性
先画图，观察得出猜想，再去验证，最后去证明函数的增减性。
以k＜0为例：设，则：，，所以：，所以：
（环节五）得出结论：正比例函数
正比例函数

图像特征
函数性质

k＞0
经过一、三象限
左低右高
y的值随x值的增大而增大

k＜0
经过二、四象限
左高右低
y的值随x值的增大而减小。

教师引导学生得出：k的正负决定直线的倾斜方向。
这一环节要留给学生充分探究实验的时间与空间，让学生在实验的过程中体会如何用改变K值的方法来研究函数的图像和性质。渗透科学实验的方法—控制变量法。
实验探究二：一次函数的图像和性质
（环节一）提出探究问题：k、b对一次函数的图像和性质有何影响？
（环节二）先让学生讨论交流实验方案。
（环节三）若学生不会控制变量法，教师用生物实验中的例子来启发引导学生。如鼠菔生存环境的探究实验进行启发。要想研究一个因素，就保持别的因素不变，就改变这个因素，看它的影响。
（环节四）学生自主探究与展示交流。引导学生自主探究，从无序实验到有序探索，都是在学生小组讨论研究后得出的：两个参数要一个一个研究，研究一个参数时，另一个参数保持不变。
（环节五）得出结论：一次函数y=kx＋b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；
　① k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
　② k＜O时，y的值随x值的增大而减小．
相同，直线互相平行
学生探究后，教师及时给予点拨指导，并用课件配合演示的变化对直线的影响。
（2）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
　　① 当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
　　②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
相同，直线交于一点
学生探究后，教师及时给予点拨指导，并用课件配合演示的变化对直线的影响。
实验探究三：K、b对函数y=kx+b的图像位置的影响
启发学生根据K、b的符号，探究画图，得出结论：
　①如图（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

　　②如图（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
　　③如图（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
给学生留有足够的时间与空间进行实验探索，让学生自己发现错误、自行纠错，力求使学生在充分的思维冲突中，强化对性质的理解和把握，学会研究问题的方法。
教学方式：自主探索——组内交流——师生共同探讨。
研究一次函数从正比例函数入手，渗透从简单到复杂，从特殊到一般的研究过程。
环节一目的是引导学生体会参数K的作用，为学生自主探究改变不同的K值，画出图像进行探究作铺垫。
让学生经历一个完整的数学实验过程：观察、猜想—验证—归纳——证明，从而得出正比例函数的性质，渗透实验探究的方法。
引导学生概括图像与性质时，从两个方面思考，渗透数形结合思想。

类比探究正比例函数的方法。

提问一次函数的一般形式，目的是启发引导学生思考两个参数k、b的作用，为探究性质埋下伏笔
教师不急于给出研究问题的方法，而是让学生先讨论交流，教师再启发引导，在学生充分体验的过程中，让学生感悟体验问题的方法。

所有知识的获得，都是通过学生自主探究，合作交流得到的。

这个内容不是大纲要求内容，但有些程度高一些的同学，是有可能探究出来的，而且对于理解斜率的概念和高中进一步研究函数很有帮助。

让学生学会分类讨论和数形结合思想

思维
升华
应用
新知
1.解决前面提出的问题
画出各自的图像，用描点发画图。
注意观察学生画的是直线还是线段、射线，教师及时给予纠正点拨。
教师配合演示。

结合图像，教师提出问题：由图像你能看出什么？引导学生思考几个关键点如：与坐标轴的交点，两条直线的交点等实际含义是什么？
2.用抢答的形式选题解答。备选习题如下（视课上的时间决定做几道题）
1．下列函数中
①         ②              ③
④        ⑤
y随着x值的增大而增大的函数有                    
y随着x值的增大而减小的函数有                    
直线交轴负半轴的有                    
2.（1）直线  和 的位置关系如何?
（2）直线  与   的位置关系如何?
（3）由直线  如何得到直线
3. 请写出一个一次函数，使它的图象与直线                                                                平行 ，且经过点（0，-3）.
4．根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图中k、b的符号：

5． 已知一次函数y=（3－k）x－2k＋18.
（1）k为何值时，它的图象经过原点？
（2）k为何值时，它的图象经过点（0，－2）?
（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？
（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=－x？
（5）k为何值时，y随x的增大而减小？

教学生学会观察图形、分析图形、获得信息和应用图像解决问题的能力。

设置由浅入深的系列分层练习，进一步帮助学生理解建构一次函数的性质及其应用。
1.     判断函数的增减性
2.     根据函数解析式，判断直线的位置关系。
3.     根据位置关系，写函数解析式。
4.     图像，判断k、b 的符号。
5.     根据图像的信息，确定字母的取值。

总结
收获
反思
提高
提出问题：谈谈本节课的收获和体会？
学生发言，互相补充，教师点评完善。

呼应复习引入，培养学生反思的习惯。

作业
布置
巩固
落实
实验探究四：探究 对图像倾斜程度影响
给出图像，如何判断它的解析式？这是学生课堂上自然生成的问题，用软件画完多个图像后，可能找不到图像和函数解析式的对应关系。
教师及时提出问题：已知四个函数：，，，和四个图像，到底如何把它们对应上？

这个实验留作课后作业，既是对本节课知识的有效巩固，又是对课堂知识的自然延伸，让学生带着问题进课堂，又带着问题出课堂。