七年级数学-平行线的性质与判定的证明-练习题及答案.doc

七年级数学-平行线的性质与判定的证明-练习题及答案

平行线的性质与判定的证明
练习题

温故而知新可以为师以：
重点1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.

例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．

解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.
（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°）

解：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴∠MND=∠AMN=60°，
∠DNP=∠EPN=80°，
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，
又NQ平分∠MNP，
∴∠MNQ=∠MNP=×140°=70°，
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，
∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步)
（2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）
由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，
∴∠MNQ=∠MNP=（∠AMN+∠EPN），
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
=（∠AMN+∠EPN）-∠AMN
=（∠EPN-∠AMN），
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.

小结：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.

解析： （标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）

答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB）
证明：因为∠AGD=∠ACB，
所以DG∥BC，
所以∠1＝∠DCB，
又因为CD⊥AB,EF⊥AB，
所以CD∥EF，
所以∠2＝∠DCB，
所以∠1=∠2.

小结：
在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.

例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．

（1） 解析： 动画过点C作CF∥AB
由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE)

答案：证明：如图，过点C作CF∥AB，

∵直线AB∥ED，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE.
∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2） 解析：动画过点C作CF∥AB, 由平行线性质找到角的关系.
（标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°）

答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．
证明：如图，过点C作CF∥AB，
∵直线AB∥ED，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.
∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．

小结：
在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.

例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？

解析： 动画过点B作BD∥AE，

答案：
解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180°
∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，
∴∠2=30°，
∴∠C=180°-30°=150°．

小结：
把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.

举一反三：
1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（ ）
A.60° B. 72° C. 90° D. 100°

解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.
答案:B.

2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.

解析：
解:∵AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.
∵∠B+∠BED+∠D=192°,
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,
∴2(∠B+∠D)=192°,
即∠B+∠D=96°.
∵∠B-∠D=24°,
∴∠B=60°,
即∠BEF=60°.
∵EG平分∠BEF,
∴∠GEF=∠BEF=30°.

3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．
求证：∠B=∠E．

解析：标注AB∥EF，BC∥ED
答案：证明：∵AB∥EF，
∴∠E=∠AGD.
∵BC∥ED，
∴∠B=∠AGD，
∴∠B=∠E.

例5如图2-6，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．

解析：标注 AB∥CD，∠1=∠2

答案：方法一：（标注CF∥BE）
解：需添加的条件为CF∥BE ，
理由：∵AB∥CD，
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF∥BE，
∴∠FCB=∠EBC，
∴∠1=∠2；

方法二：（标注CF，BE，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE）解：添加的条件为CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线．
理由：∵AB∥CD，
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线，
∴∠1=∠2．

小结：
解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.

例6 如图1-7，已知直线，且和、分别交于A、两点，点P在AB上，和、分别交于C、D两点，连接PC、PD。
（1） 试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。
（2） 如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。
（3） 如果点P在AB两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）

解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线
∠3=∠1+∠2。理由：如图（1）所示

过点P作PE∥交于E，则∠1=∠CPE，
又因为∥，所以PE∥，则∠EPD=∠2，
所以∠CPD=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2
（2）解析: 点P在A、B两点之间运动时，∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。
（3）解析：如图（2）和（3）所以，当P点在A、B两点外侧运动时，分两种情况：

4.如图2-11，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，EF平分∠DEB吗？请说明理由．

解析：标注CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD
答案：标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF
解：EF平分∠DEB．理由如下：
∵DE∥AC，EF∥CD，
∴∠CDE=∠ACD，∠CDE=∠DEF，
∠BEF=∠DCE.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE=∠ACD，
∴∠DEF=∠BEF，
即EF平分∠DEB．

5.如图1-12，CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC,
求证：AB∥GF

解析：如图，作CK∥FG,延长GF、CD交于H，则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为CD∥EF，所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2＝∠ABC，所以∠ABC+∠KCB=180°，所以CK∥AB,所以AB∥FG.

6.如图2-13，已知AB∥CD，∠ECD=125°，∠BEC=20°，求∠ABE的度数．

解析：（过E点作EF∥CD）标注AB∥EF∥CD
答案：解：过E点作EF∥CD，
∴∠ECD+∠CEF=180°，
而∠ECD=125°，
∴∠CEF=180°-125°=55°，
∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°.
∵AB∥CD，∴AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF=75°．

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