六动力学问题的有限元法.pptx
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1、第六单元 动力学问题的有限元法第一节 变形体动力学问题概述变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程结构、弹性介质。结构、弹性介质。根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性,一般意根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性,一般意义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。v指边界条件和指边界条件和/或体力变化缓慢,或者物体内加速度分或体
2、力变化缓慢,或者物体内加速度分布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程中忽略了惯性项,但载荷是时间的函数。在某时刻中忽略了惯性项,但载荷是时间的函数。在某时刻t t,采用动静法将整体惯性力转化为体力,或者忽略惯性力。采用动静法将整体惯性力转化为体力,或者忽略惯性力。对应此刻载荷的静力学解作为对应此刻载荷的静力学解作为t t时刻的解。工程上可取时刻的解。工程上可取随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态解。解。v尽管这种静态情况在实际上并不存在,但作为一种基本尽管这种静态情况在实际上并
3、不存在,但作为一种基本力学模型,在工程实践上具有重要意义。很多实际问题力学模型,在工程实践上具有重要意义。很多实际问题可近似归入准静态问题,而满足工程上的精度要求。可近似归入准静态问题,而满足工程上的精度要求。1)1)准静态问题准静态问题v通过这种近似处理,可以避免大量的动力学模型解算,通过这种近似处理,可以避免大量的动力学模型解算,而在有限的计算机资源下,可把实际问题的模型在准静而在有限的计算机资源下,可把实际问题的模型在准静态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下,态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下,由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假由此带来的对实际情况的逼
4、近将大大抵消由于准静态假设产生的误差。设产生的误差。v至于哪些问题可作准静态来处理,需要综合考虑分析目至于哪些问题可作准静态来处理,需要综合考虑分析目的与精度要求,构件的尺度和动态特性(固有振动周期)的与精度要求,构件的尺度和动态特性(固有振动周期),载荷的特性(上升前沿和作用时间),计算机资源情,载荷的特性(上升前沿和作用时间),计算机资源情况等。况等。2)结构动力学问题结构动力学问题v该领域研究下列问题:弹性结构(系统)的自由振动该领域研究下列问题:弹性结构(系统)的自由振动特性(频率和振型)分析;瞬态响应分析;频率响应特性(频率和振型)分析;瞬态响应分析;频率响应分析;响应谱分析等。分析
5、;响应谱分析等。v就结构的瞬态响应分析而言,典型的有结构在冲击载就结构的瞬态响应分析而言,典型的有结构在冲击载荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是,荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是,载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近,远大载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近,远大于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作用随时间剧烈变化的载荷。用随时间剧烈变化的载荷。v结构动力学问题在工程中具有普遍性。结构动力学问题在工程中具有普遍性。3)弹塑性动力学问题弹塑性动力学问题v这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。这是连续介质
6、变形体动力学问题的另一个重要领域。涉及许多科学和工程领域,如高速碰撞,爆炸冲击,涉及许多科学和工程领域,如高速碰撞,爆炸冲击,人工地震勘探,无损探伤等。人工地震勘探,无损探伤等。v这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。v这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件高速碰撞或爆炸载荷产生。高速碰撞或爆炸载荷产生。对
7、于上述后两类问题,描述质点平衡和运动的微分方程对于上述后两类问题,描述质点平衡和运动的微分方程相同,包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要相同,包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要是有限元法。是有限元法。第二节第二节 动力学问题的有限元方程动力学问题的有限元方程在连续介质的动力学问题中,描述力学参量的坐标是在连续介质的动力学问题中,描述力学参量的坐标是四维:四维:3 3个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求解时,只对空间区域进行离散化,得到离散多自由度解时,只对空间区域进行离散化,得到离散多自由度系统的动力学模型。系统的动力学模型。其有限元法
8、步骤与静力学问题相同。只是在单元上对其有限元法步骤与静力学问题相同。只是在单元上对随时间变化的节点位移进行插值,得到单元内随时间随时间变化的节点位移进行插值,得到单元内随时间变化的假设位移场:变化的假设位移场:为建立有限元动力学响应控制方程,利用达朗倍尔原理,为建立有限元动力学响应控制方程,利用达朗倍尔原理,在每个时刻在每个时刻 t t,将连续介质中质点加上惯性力,将连续介质中质点加上惯性力 和阻尼力和阻尼力 ,则系统的动力学问题转化为等效静力,则系统的动力学问题转化为等效静力学问题。对等效系统应用虚功原理:学问题。对等效系统应用虚功原理:将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方将前面
9、位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方程代入上式虚功方程,并考虑到变分的任意性,得到离程代入上式虚功方程,并考虑到变分的任意性,得到离散系统控制方程散系统控制方程结构有限元动力学方程:结构有限元动力学方程:方程中的系数矩阵分别为:系统质量矩阵,阻尼方程中的系数矩阵分别为:系统质量矩阵,阻尼矩阵,整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。矩阵,整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成:上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成:其中:其中:单元质量矩阵单元质量矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元阻尼矩阵单元阻尼矩阵单元等效节点力向量单元等效节点力向量如果忽略阻尼,则结构动力学
10、方程简化为:如果忽略阻尼,则结构动力学方程简化为:上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动方上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动方程。程。从动力学方程导出过程可以看出,动力学问题的有限元从动力学方程导出过程可以看出,动力学问题的有限元分析中,由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力,从而分析中,由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力,从而引入了质量矩阵和阻尼矩阵,运动方程是耦合的二阶常引入了质量矩阵和阻尼矩阵,运动方程是耦合的二阶常微分方程组,而不是代数方程组。该方程又称为有限元微分方程组,而不是代数方程组。该方程又称为有限元半离散方程,因为对空间是有限元离散的,对时间是连半离散方程,因
11、为对空间是有限元离散的,对时间是连续的。续的。当求解该微分方程组,得出节点位移响应后,其它计当求解该微分方程组,得出节点位移响应后,其它计算步骤与静力分析相同。算步骤与静力分析相同。有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分方程组解法,但由于实际问题有限元模型的阶数往往方程组解法,但由于实际问题有限元模型的阶数往往很高,用常规方法不经济,通常采用一些对有限元方很高,用常规方法不经济,通常采用一些对有限元方程有效的解法,主要分为两类:直接积分法和振型叠程有效的解法,主要分为两类:直接积分法和振型叠加法。加法。第三节第三节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩
12、阵和阻尼矩阵 1 1、协调质量矩阵和集中质量矩阵、协调质量矩阵和集中质量矩阵该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出,还表示度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出,还表示质量在单元上呈某种分布。质量在单元上呈某种分布。此外,有限元中还经常采用集中质量矩阵,它是一个对此外,有限元中还经常采用集中质量矩阵,它是一个对角矩阵,由假定单元质量集中在节点上得到。角矩阵,由假定单元质量集中在节点上得到。上节导出的单元质量矩阵为:上节导出的单元质量矩阵为:对于对于3 3节点三角形单元,按上述公式计算得到的一致质
13、量节点三角形单元,按上述公式计算得到的一致质量矩阵为:矩阵为:该该单单元元的的集集中中质质量量矩矩阵阵为为:实际应用中,两种质量矩阵都有应用,得到的计算结果实际应用中,两种质量矩阵都有应用,得到的计算结果相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化,提相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化,提高计算效率,由此得到的自振频率常低于精确解。高计算效率,由此得到的自振频率常低于精确解。在波传播问题和高速瞬态非线性分析中,通常采用显式动在波传播问题和高速瞬态非线性分析中,通常采用显式动力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。2 2、阻尼矩阵、阻
14、尼矩阵单元阻尼矩阵:单元阻尼矩阵:称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点运动速度得到的,属于粘性阻尼。显然,这种阻尼阵运动速度得到的,属于粘性阻尼。显然,这种阻尼阵与质量矩阵成正比。与质量矩阵成正比。对结构而言,阻尼并非粘性的,而主要是由于材料内对结构而言,阻尼并非粘性的,而主要是由于材料内部摩擦效应引起的能量耗散,但这种耗散机理尚未完部摩擦效应引起的能量耗散,但这种耗散机理尚未完全清楚,更难以用数学模型表达,故通常假设这种情全清楚,更难以用数学模型表达,故通常假设这种情况的阻尼力正比于应变速率,从而可导出比例于单元况的阻尼力正比于应变速率
15、,从而可导出比例于单元刚度矩阵的单元阻尼阵,大多数情形下足够精确。刚度矩阵的单元阻尼阵,大多数情形下足够精确。上述两种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼。其比例上述两种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼。其比例系数一般依赖于频率,很难精确确定。系数一般依赖于频率,很难精确确定。一个通行的方法是将结构的阻尼矩阵简化为结构刚度一个通行的方法是将结构的阻尼矩阵简化为结构刚度阵和结构质量阵的线性组合:阵和结构质量阵的线性组合:其中其中,是不依赖于频率的常数。这种振型阻尼称是不依赖于频率的常数。这种振型阻尼称为为RayleighRayleigh阻尼。当阻尼。当=0=0时,较高阶振型受到的阻尼时,较高阶振型受到的
16、阻尼较大;当较大;当=0=0 时,较低阶振型受到的阻尼大。时,较低阶振型受到的阻尼大。由于系统的固有振型对于结构质量矩阵和结构刚度矩由于系统的固有振型对于结构质量矩阵和结构刚度矩阵具有正交性,因此,系统振型对上述阵具有正交性,因此,系统振型对上述RayleighRayleigh阻尼阻尼矩阵也是正交的。所以这类阻尼矩阵又称为振型阻尼。矩阵也是正交的。所以这类阻尼矩阵又称为振型阻尼。采用振型阻尼矩阵后,可以利用系统振型对动力学方采用振型阻尼矩阵后,可以利用系统振型对动力学方程进行变换,得到解耦的方程组,使每个方程可以独程进行变换,得到解耦的方程组,使每个方程可以独立求解,给计算带来方便。立求解,给
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