2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系练习含解析新人教B版必修第一册.doc

1.1.2　集合的基本关系
最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义．(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

知识点一　子集
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符号语言
图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A

　“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
知识点二　真子集
　　　一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．
　在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
知识点三　集合相等
一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．
由集合相等的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.
知识点四　子集、真子集的性质
根据子集、真子集的定义可知：
(1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
(2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.
[基础自测]
1．集合{0,1}的子集有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个　 D．4个
解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．
答案：D
2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是(　　)
A．M＝{π}，N＝{3.141 59}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}
D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．
答案：D
3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　)
A．0⊆A B．{0}∈A
C．∅∈A D．{0}⊆A
解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．
答案：D
4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.
解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.
答案：1

题型一　集合间关系的判断[经典例题]
例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1　　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
【解析】　(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
方法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.
【答案】　(1)B　(2)见解析
根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．

方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；
若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
跟踪训练1　(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是(　　)
A．MT B．MT
C．M＝T D．MT
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图

答案：(1)A　(2)见解析
学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，
D ⊆C.
题型二　子集、真子集及个数问题[教材P11例1]
例2　写出集合A＝{6,7,8}的所有子集和真子集．
【解析】　如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0,1,2,3.可依下列步骤来完成此题：
(1)写出元素个数为0的子集，即∅；
(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；
(3)写出元素个数为2的子集，即{6,7}，{6,8}，{7,8}；
(4)写出元素个数为3的子集，即{6,7,8}．
集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}，{6,7}，{6,8}，{7,8}，{6,7,8}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{6,7,8}，剩下的都是A的真子集．
　写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身.

教材反思
1．求集合子集、真子集个数的三个步骤

2．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件ACB的集合C的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为(　　)
A．－2 B．4
C．0 D．以上答案都不是
解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2，4}．
(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
答案：(1)B 　(2)C
　(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.
(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．
题型三　根据集合的包含关系求参数[经典例题]
例3　已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．
【解析】　(1)当a＝0时，①
A＝∅，满足A⊆B.
(2)当a>0时，A＝.
又∵B＝{x|－1<x<1}，且A⊆B，∴②
∴a≥2.
(3) 当a<0时，A＝.③
∵A⊆B，∴∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}．
　①欲解不等式1<ax<2，需不等号两边同除以a，而a的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a分a＝0，a>0，a<0进行讨论．
②A ⊆B用数轴表示如图所示：(a>0时)

由图易知，和需在－1与1之间．当＝－1，或＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如＝1时，A＝，x取不到1.
③a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变.

方法归纳
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
跟踪训练3　设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系．
(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．
解析：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝，由B⊆A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为.
　(1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．
(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．
①B＝∅，此时a＝0；
②B≠∅，此时a≠0.
易错点　忽略空集的特殊性致误　
例　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合．
【错解】　由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝{－1}或{3}．
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【正解】　由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【易错警示】
错误原因
纠错心得
错解忽略了N＝∅这种情况
空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则

课时作业 2

一、选择题
1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是(　　)

解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R 且0≤x≤1}，∴NM.
答案：B
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是(　　)
A．1　　B．－1
C．±1 D．0
解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.
答案：C
3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
答案：B
4．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是(　　)
A．m>3 B．m≥3
C．m<3 D．m≤3
解析：因为A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，
将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.

答案：B
二、填空题
5．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3m<x<m}；(4){x|a＋2<x<a}；(5){x|x2＋2x＋5＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．
解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．
答案：(4)(5)
6．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．
解析：集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.
答案：36
7．若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．
答案：5
三、解答题
8．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A.
解析：∵{1,2}⊆A，∴1∈A,2∈A.
又∵A{1,2,3,4}，
∴集合A中还可以有3,4中的一个，
即集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
解析：方法一　根据集合中元素的互异性，
有或解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二　∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
[尖子生题库]
10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．
解析：∵B⊆A，
(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠∅时，
有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．

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