2019_2020学年新教材高中物理第二章匀变速直线运动的探究专题一匀变速直线运动的推论及公式的应用练习含解析新人教版必修第一册.doc

专题一　匀变速直线运动的推论及公式的应用

课题任务　匀变速直线运动的平均速度、中间时刻速度、位移中点速度

1．平均速度
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t时刻的速度为v。
由x＝v0t＋at2得，
平均速度＝＝v0＋at①
由速度公式v＝v0＋at知，
当t′＝时，v＝v0＋a·②
由①②得＝v
又v＝v＋a·
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝。
2．中间时刻的瞬时速度(v)与位移中点的瞬时速度(v)的比较
在v­t图像中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v。所以当物体做匀变速直线运动时，v>v。

拓展：
(1)内容：匀变速直线运动中，位移中点的瞬时速度v与初速度v0、末速度v的关系是v＝ 。
(2)证明：对前一半位移有v2－v＝2a，对后一半位移有v2－v2＝2a，
两式联立可得v＝ 。

例1　光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是(　　)
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时刻的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
[规范解答]　全程的平均速度v＝＝，A正确；时刻物体的速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，v＝，中间位置的速度v＝ ＝ ＝，C正确；设物体的加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确。
[完美答案]　B

　一个做匀减速直线运动的物体，先后经过a、b两点时的速度大小分别是4v和v，所用时间为t，则下列判断正确的是(　　)
A．物体的加速度大小为
B．物体经过a、b中点时的速率是v
C．物体在时刻的速率是2v
D．物体在这段时间内的位移为2.5vt
答案　D
解析　物体的加速度大小为a＝＝，A错误；物体经过a、b中点时的速率为v′＝ ＝ v，B错误；物体在时刻的速率为v″＝＝＝2.5v，C错误；物体在这段时间内的位移x＝t＝2.5vt，D正确。
课题任务　位移差公式Δx＝aT2

1．一个重要推论：Δx＝aT2
做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个恒量，即Δx＝aT2。
证明：如图，

x1＝v0T＋aT2，
x2＝v0·2T＋a(2T)2－
＝v0T＋aT2
所以Δx＝x2－x1＝aT2。
2．Δx＝aT2的应用：逐差法
在研究匀变速直线运动的实验中，其实验目的之一是使用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度。除通过求出各时刻的速度画v­t图像求解加速度外，还可以用公式法求解。原理如下：
设物体做匀加速直线运动的加速度是a，在各个连续相等时间间隔T内的位移分别是x1、x2、…、x6，如图甲所示，

使用公式Δx＝aT2可得：
x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2，
同理：x5－x2＝x6－x3＝3aT2。
由测得的各段位移x1、x2、…、x6可求出：
a1＝，a2＝，a3＝，
所以a1、a2、a3的平均值：
＝＝。
这就是我们所要测定的匀变速直线运动的加速度。所用方法称为逐差法。
这样处理数据的过程中，所给的实验数据x1、x2…x6全部都用到了，所以，在“使用全部所给数据，全面真实反映纸带的情况”并采用了“多次测量求平均值”的原则下，减小了实验误差。
3．逐差法的简化：两段法
“两段法”实际上就是将图甲所示纸带的6段位移分成两大部分：xⅠ和xⅡ，如图乙所示，则xⅠ和xⅡ是运动物体在两个相邻的相等时间间隔T′＝3T内的位移。

由xⅡ－xⅠ＝aT′2可得：
a＝＝。
显然，得到的计算结果和前面完全相同，但这种方法避免了“逐差法”求多个a，再求这些a的平均值的麻烦，而且在思路上更清晰，计算上也更简捷。“连续相等时间内的位移”中“相等时间”的长度可任意选取，不必拘泥于纸带上已给的相邻计数点间的时间间隔T。凡是“逐差法”适用的情景，都可以用“两段法”快速求得结果。

例2　有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体在这两段时间内的初速度和加速度大小。
[规范解答]　解法一(常规解法)：如图所示，物体从A到B再到C各用时4 s，AB＝24 m，BC＝64 m。设物体的加速度为a，由位移公式得：x1＝vAT＋aT2

x2＝－
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入两式求得
vA＝1 m/s，a＝2.5 m/s2。
解法二(用平均速度求解)：
1＝＝ m/s＝6 m/s，
2＝＝ m/s＝16 m/s。
又2＝1＋aT，代入数据解得a＝2.5 m/s2，
再由x1＝vAT＋aT2，求得vA＝1 m/s。
解法三(用推论公式Δx＝aT2求解)：由x2－x1＝aT2，代入数据解得a＝2.5 m/s2，再代入x1＝vAT＋aT2，可求得vA＝1 m/s。
[完美答案]　1 m/s　2.5 m/s2

(1)以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题。
(2)推论式Δx＝aT2常用在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据打出的纸带求物体的加速度。

　一小球(可视为质点)沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点。已知AB＝6 m，BC＝10 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，则小球在经过A、B、C三点时的速度大小分别是(　　)
A．2 m/s,4 m/s,6 m/s B．2 m/s,3 m/s,4 m/s
C．3 m/s,4 m/s,5 m/s D．3 m/s,5 m/s,7 m/s
答案　A
解析　根据Δx＝aT2得，a＝＝ m/s2＝1 m/s2，经过B点的瞬时速度等于AC段的平均速度，则vB＝＝ m/s＝4 m/s，则经过C点的速度vC＝vB＋aT＝(4＋1×2) m/s＝6 m/s，经过A点的速度vA＝vB－aT＝(4－1×2) m/s＝2 m/s，A正确，B、C、D错误。
　一小球在桌面上从静止开始做匀加速直线运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下小球每次曝光的位置，并将小球的位置编号。如图所示，1位置恰为小球刚开始运动的瞬间，摄影机连续两次曝光的时间间隔均为1 s，则小球在4位置时的瞬时速度约为________ m/s，小球从1位置到6位置的运动过程中的平均速度为________ m/s，在该过程中的加速度大约为________ m/s2。

答案　0.09　0.075　0.03
解析　由题图可知，1～6计数点的刻度依次是0、1.5、6.0、13.5、24.0、37.5，单位：cm。所以连续相等的时间位移依次是：x1＝1.5 cm，x2＝4.5 cm，x3＝7.5 cm，x4＝10.5 cm，x5＝13.5 cm。故其Δx＝3.0×10－2 m。
小球在4位置时的瞬时速度为3、5位置之间的平均速度：v4＝＝ m/s＝0.09 m/s。
小球从1位置到6位置运动过程中的平均速度：
＝ m/s＝0.075 m/s。
由Δx＝at2得该过程中的加速度
a＝＝ m/s2＝0.03 m/s2。
课题任务　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系

1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)由v＝at可得：T时刻、2T时刻、3T时刻、…、nT时刻的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)由x＝at2可得：T时间内、2T时间内、3T时间内、…、nT时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2。
(3)设第一个T时间内的位移为xⅠ，第二个T时间内的位移为xⅡ，第三个T时间内的位移为xⅢ，…，第n个T时间内的位移为xN，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1。容易得到xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x)
(1)由v2＝2ax，可得v＝，则x末、2x末、3x末、…、nx末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)由x＝at2可得t＝，则通过x、2x、3x、…、nx所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)设通过第一个x所用的时间为tⅠ、通过第二个x所用的时间为tⅡ、通过第三个x所用的时间为tⅢ、…，通过第N个x所用的时间为tN，则tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1。容易得到tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。

例3　在高11.25 m的屋檐上，每隔一定的时间有一滴水落下，设水滴的运动是从静止开始的匀加速直线运动。已知第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐。求：第1滴水滴落地时瞬间空中各相邻两滴水之间的距离。
[规范解答]　设相邻两滴水的时间间隔为T，第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐，中间的时间间隔就是3T。将第4滴水和第3滴水之间的距离作为x1，第3滴水和第2滴水之间的距离作为x2，第2滴水和第1滴水之间的距离作为x3，根据速度从零开始的匀加速直线运动中连续相等的时间位移之比是x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，整个高度可分为1＋3＋5＝9份，则x1占1份、x2占3份、x3占5份。故x1＝×11.25 m＝1.25 m，x2＝3x1＝3×1.25 m＝3.75 m，x3＝×11.25 m＝6.25 m。
[完美答案]　第1、2滴水之间的距离为6.25m，第2、3滴水之间的距离为3.75 m，第3、4滴水之间的距离为1.25 m。

(1)运动学问题一般有多种分析方法，在解题时应选用最优解法，以便快速解题。
(2)初速度为零的匀加速直线运动的比例关系很多，记起来也许容易混乱，要结合三个公式v＝at，x＝at2，v2＝2ax加以理解。

在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军。如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少？(冰壶可看成质点)

答案　∶1　(－1)∶1
解析　把冰壶的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。冰壶通过两矩形区域位移相等，则从右向左穿过矩形的末速度之比为1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比为v1∶v2＝∶1；冰壶从右向左，通过每个矩形区域的时间之比为1∶(－1)，则冰壶实际运动穿过矩形区域的时间之比为t1∶t2＝(－1)∶1。
课题任务　运动学公式的选择技巧

1．匀变速直线运动四个常用公式的比较

2．共同点
(1)适用条件相同：适用于匀变速直线运动。
(2)都是矢量式：v0、v、a、x都是矢量，应用这些公式时必须选取统一的正方向，一般选取v0的方向为正方向。
(3)都涉及四个物理量，当已知其中三个物理量时，可求另一个未知量。
3．运动学公式的应用步骤
(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象，明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。

例4　从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上车，于是立即做匀减速直线运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20 s，行进了50 m。求该过程中汽车的最大速度。
[规范解答]　解法一(基本公式法)：设最大速度为vmax，
由题意可得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2＋a2t，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax＋a2t2，
联立得vmax＝＝ m/s＝5 m/s。
解法二(平均速度法)：匀加速阶段和匀减速阶段平均速度相同，都等于，故有x＝t1＋t2，
因此有vmax＝＝ m/s＝5 m/s。
解法三(图像法)：

作出汽车运动全过程的v­t图像，如图所示，v­t图线与t轴所围成的三角形的面积等于位移的大小，故x＝，所以vmax＝＝ m/s＝5 m/s。
[完美答案]　5 m/s

分析匀变速直线运动的技巧：“一画、二选、三注意”
一画：根据题意画出物体的运动示意图，使运动过程直观清晰。
二选：从以下常用方法中选取合适的方法。

三注意：注意列运动学方程时，方程式中每一个物理量均对应同一运动过程。

如图所示，一物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，该过程物体做匀减速直线运动。已知物体第一次运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。

答案　t
解析　解法一(逆向思维法)：物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。
故xBC＝，xAC＝，又xBC＝，
由以上三式解得tBC＝t。
解法二(基本公式法)：因为物体沿斜面向上做匀减速直线运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v＝2axAC①
v＝v－2axAB②
xAB＝xAC③
由①②③解得vB＝④
又vB＝v0－at⑤
vB＝atBC⑥
由④⑤⑥解得tBC＝t。
解法三(位移比例法)：对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t。
解法四(时间比例法)：对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶
t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(－1)tx，tDE＝(－)tx，tEA＝(2－)tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t。

解法五(中间时刻速度法)：利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，得AC＝＝。又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝，由以上三式解得vB＝。因为vB＝AC，所以有tBC＝t。
解法六(图像法)：

根据匀变速直线运动的规律，作出v­t图像，如图所示。利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边长平方之比，得＝，且＝，
OD＝t，OC＝t＋tBC。
所以＝，解得tBC＝t。

1．电动自行车以其时尚、方便、快捷深受广大中学生的喜爱，但由电动自行车引发的交通事故也在逐年增多，学习交通安全常识，自觉遵守交通法规是确保学生交通安全的重要举措之一。按规定电动自行车在城区限速20 km/h。某同学为了判断自己正常行驶时是否超速，在一次正常行驶途中经过某一位置时立刻切断电源，让电动自行车沿直线自由滑行。测得电动自行车滑行的最大距离为15 m，滑行的时间为5 s，则该同学正常行驶的车速约为(　　)
A．3 km/h B．3 m/s
C．6 km/h D．6 m/s
答案　D
解析　根据公式x＝t得，v＝＝ m/s＝6 m/s＝21.6 km/h，D正确。
2．现在的航空母舰上都有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s。若该飞机滑行100 m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为(　　)
A．30 m/s B．40 m/s
C．20 m/s D．10 m/s
答案　B
解析　设应用弹射系统帮助起飞时初速度为v0，由公式v2－v＝2ax，可得v0＝＝40 m/s，故选B。
3．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为(　　)
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶∶
答案　A
解析　由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度＝，三段时间都是1 s，故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确。
4．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　)

A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
答案　B
解析　根据匀变速直线运动规律有Δx＝x2－x1＝aT2。轿车总长为4.5 m，可知图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝＝2.25 m/s2，B正确。
5．一质点在连续的4 s内做匀加速直线运动，在第一个2 s内位移为12 m，第二个2 s内位移为16 m，下面说法正确的是(　　)
A．质点在第1 s末的速度大小为4 m/s
B．质点在第2 s末的速度大小为6 m/s
C．质点的加速度大小为1 m/s2
D．质点的加速度大小为6 m/s2
答案　C
解析　质点做匀加速直线运动，由Δx＝aT2，T＝2 s，Δx＝16 m－12 m＝4 m，解得a＝1 m/s2，C正确，D错误；第一个2 s内的平均速度v1＝ m/s＝6 m/s，此速度等于该阶段中间时刻的瞬时速度，故第1 s末的速度大小为6 m/s，A错误；由匀变速直线运动公式v＝v0＋at，代入第1 s末的速度与加速度，可得第2 s末的速度大小为7 m/s，B错误。
6．一质点做匀加速直线运动，速度变化Δv时发生位移x1，紧接着速度变化同样的Δv时发生位移x2。则该质点的加速度大小为(　　)
A. B.
C. D．(Δv)2
答案　B
解析　本题疑难之处在于不知道运动时间，突破点是在匀加速直线运动中，速度变化同样的Δv时，所用时间相等。根据x2－x1＝aT2，a＝，联立可求得a＝，故B正确。
7．如图是某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带。

(1)已知打点计时器的电源频率为50 Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________。
(2)A、B、C、D是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点未画出。图中B、C两点间距未标示，则C点对应的速度是________ m/s，对应匀变速直线运动的加速度为________ m/s2。
答案　(1)0.02 s　(2)0.1　0.2
解析　(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为0.02 s。
(2)因每两个相邻计数点间有四个点未画出，可知T＝0.1 s；根据Δx＝x－0.70 cm＝1.10 cm－x，可得x＝0.90 cm，Δx＝0.2 cm，则vC＝＝ m/s＝0.1 m/s。根据Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2。
8．如图所示，一个小球沿斜面向下运动，用每间隔 s曝光一次的频闪相机拍摄不同时刻小球位置的照片，即照片上出现的相邻两个小球的像之间的时间间隔为 s，测得小球在几个连续相等时间内的位移(数据见表)，则

x1/cm
x2/cm
x3/cm
x4/cm
8.20
9.30
10.40
11.50
(1)小球在连续相等时间内的位移之差________(选填“相等”或“不相等”)，小球的运动性质属于________直线运动。
(2)甲、乙两位同学计算小球加速度的方法如下：
甲同学：a1＝，a2＝，a3＝，a＝；
乙同学：a1＝，a2＝，a＝。
你认为甲、乙两位同学中哪位同学的计算方法较准确？________，加速度为________ m/s2。
(3)图中频闪相机拍摄第二张照片的时刻小球的瞬时速度为________ m/s。
答案　(1)相等　匀加速　(2)乙　1.1　(3)0.875
解析　(1)由表中数据可知，x4－x3＝x3－x2＝x2－x1，即小球在相邻的相等时间内的位移之差相等，小球做匀加速直线运动。
(2)甲同学：
a＝＝＝，
乙同学：
a＝＝＝。
乙同学用到了所有数据，故求加速度较准确，加速度为：a＝＝1.1 m/s2。
(3)根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度公式，
v＝＝，
则v＝＝ m/s＝0.875 m/s。
9．日本筑波大学研制出了世界上第一种商业外骨骼机器人，这种装置能帮助行动不便者以一定速度行走。某人利用该外骨骼机器人从静止开始，沿直线匀加速行走了4 s，达到最大速度6 m/s后，又以1.2 m/s2的加速度沿直线匀减速行走了3 s，然后做匀速直线运动。求：

(1)该人匀加速运动时的加速度大小；
(2)该人匀速运动时的速度大小；
(3)前7 s过程中该人行走的总位移的大小。
答案　(1)1.5 m/s2　(2)2.4 m/s　(3)24.6 m
解析　(1)设匀加速运动阶段，人的加速度大小为a1，最大速度大小为v1，运动的时间为t1，位移大小为x1，
则v1＝6 m/s，t1＝4 s，
a1＝＝＝ m/s2＝1.5 m/s2。
(2)设匀减速运动阶段，人的加速度大小为a2，末速度大小为v2，匀减速运动的时间为t2，匀减速运动的位移大小为x2，则
a2＝1.2 m/s2，t2＝3 s，
由v2＝v1－a2t2，代入数据得v2＝2.4 m/s。
(3)x1＝v1t1＝12 m；
x2＝(v1＋v2)t2＝12.6 m；
则前7 s过程中人的总位移大小x＝x1＋x2＝24.6 m。
10．从光滑斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一颗相同的小球，在连续放下几颗以后，对在斜面上运动的小球摄下照片，如图所示，测得AB＝15 cm，BC＝20 cm，试求：

(1)小球的加速度大小；
(2)拍摄时B球的速度大小vB；
(3)D球与C球的距离；
(4)A球上面正在运动的球的数量。
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)25 cm　(4)2
解析　解本题的关键是将同一时刻的多个小球的照片转化为同一小球的频闪照片研究。
(1)据BC－AB＝aT2得a＝5 m/s2。
(2)据vB＝得vB＝1.75 m/s。
(3)据CD－BC＝BC－AB得CD＝25 cm。
(4)据vB＝at得t＝0.35 s，显然A球已运动了0.25 s，故A球上面正在运动的球还有2颗。

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