2019_2020学年新教材高中数学第三章函数3.1.1.2函数的表示方法练习含解析新人教B版必修第一册.doc
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第2课时 函数的表示方法 最新课程标准:(1)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图像的作用.(2)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 知识点一 函数的表示方法 1.解析法是表示函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系. 2.由列表法和图像法的概念可知:函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 知识点二 分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数. 1.分段函数虽然由几部分构成,但它仍是一个函数而不是几个函数. 2.分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.如y=其“段”是不等长的. [基础自测] 1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( ) A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) 解析:题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D. 答案:D 2.已知函数f(x)=则f(2)等于( ) A.0 B. C.1 D.2 解析:f(2)==1. 答案:C 3.已知函数f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是( ) A.3x+2 B.3x+1 C.3x-1 D.3x+4 解析:方法一 令2x+1=t,则x=. ∴f(t)=6×+5=3t+2. ∴f(x)=3x+2. 方法二 ∵f(2x+1)=3(2x+1)+2. ∴f(x)=3x+2. 答案:A 4.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出. x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为________. 当g(f(x))=2时,x=________. 解析:由于函数关系是用表格形式给出的,知g(1)=3, ∴f(g(1))=f(3)=1.由于g(2)=2,∴f(x)=2,∴x=1. 答案:1 1 题型一 函数的表示方法[经典例题] 例1 (1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( ) (2)已知函数f(x)按下表给出,满足f(f(x))>f(3)的x的值为________. x 1 2 3 f(x) 2 3 1 【解析】 (1)由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0. 由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律. 【答案】 (1)D (2)由表格可知f(3)=1,故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1. ∴f(x)=1或f(x)=2,∴x=3或1. 观察表格,先求出f(1)、f(2)、f(3),进而求出f(f(x))的值,再与f(3)比较. 【答案】 (2)3或1 方法归纳 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. (2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义. (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. 跟踪训练1 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图像法、解析法表示出来. 解析:(1)列表法: x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图像法:如图所示. (3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}. 本题中函数的定义域是不连续的,作图时应注意函数图像是一些点,而不是直线.另外,函数的解析式应注明定义域. 题型二 求函数的解析式 [经典例题] 例2 根据下列条件,求函数的解析式: (1)已知f=,求f(x); (2)f(x)是二次函数,且f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3,求f(x). 【解析】 (1)设t=,则x=(t≠0),代入f=,得f(t)==, 故f(x)=(x≠0且x≠±1). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 因为f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3. 所以解得 所以f(x)=-x2+x-3. (1)换元法:设=t,注意新元的范围. (2)待定系数法:设二次函数的一般式f(x)=ax2+bx+c. 跟踪训练2 (1)已知f(x2+2)=x4+4x2,则f(x)的解析式为________; (2)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,则f(x)=________. 解析:(1)因为f(x2+2)=x4+4x2 =(x2+2)2-4, 令t=x2+2(t≥2),则f(t)=t2-4(t≥2),所以f(x)=x2-4(x≥2). (2)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0), 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又因为f(f(x))=4x-1,所以a2x+ab+b=4x-1. 所以解得或 所以f(x)=2x-或f(x)=-2x+1. 答案:(1)f(x)=x2-4(x≥2) (2)2x-或-2x+1 (1)换元法 设x2+2=t. (2)待定系数法 设f(x)=ax+b. 题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f(x)=则f=( ) A. B. C.- D. (2)已知f(n)=则f(8)=________. 【解析】 (1)∵f=-2=-, ∴f=f==,故选B. (2)因为8<10,所以代入f(n)=f(f(n+5))中, 即f(8)=f(f(13)). 因为13>10,所以代入f(n)=n-3中,得f(13)=10, 故f(8)=f(10)=10-3=7. 【答案】 (1)B (2)7 判断自变量的取值范围,代入相应的解析式求解. 方法归纳 (1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得. (2)像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理. (3)已知函数值求相应的自变量值时,应在各段中分别求解. 跟踪训练3 已知f(x)= 求f(-1),f(f(-1)),f(f(f(-1))). 解析:∵-1<0,∴f(-1)=0,∴f(f(-1))=f(0)=π, ∴f(f(f(-1)))=f(π)=π+1. 根据不同的取值代入不同的解析式. 题型四 函数图像[教材P87例6] 例4 已知函数y=,指出这个函数的定义域、值域,并作出这个函数的图像. 【解析】 函数的定义域为[0,+∞).由y=在y≥0时有解可知,函数的值域为[0,+∞). 通过描点作图法,可以作出这个函数的图像如图所示. 函数图像可由列表、描点、连线的方法作图,在列表取值时要注意函数的定义域. 教材反思 (1)画一次函数图像时,只需取两点,两点定直线. (2)画二次函数y=ax2+bx+c的图像时,先用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式,确定抛物线的开口方向(a>0开口向上,a<0开口向下)、对称轴(x=h)和顶点坐标(h,k),在对称轴两侧分别取点,按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. (3)对于不熟悉的函数,可采用列表、描点、连线的方法画图. 跟踪训练4 作出下列函数的图像: (1)y=-x+1,x∈Z; (2)y=2x2-4x-3,0≤x<3; (3)y=|1-x|. 解析:(1)函数y=-x+1,x∈Z的图像是直线y=-x+1上所有横坐标为整数的点,如图(a)所示. (2)由于0≤x<3,故函数的图像是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的部分,如图(b). (3)因为y=|1-x|=故其图像是由两条射线组成的折线,如图(c). (2)先求对称轴及顶点,再注意x的取值(部分图像). (3)关键是根据x的取值去绝对值. 解题思想方法 数形结合利用图像求分段函数的最值 例 求函数y=|x+1|+|x-1|的最小值. 【解析】 y=|x+1|+|x-1|= 作出函数图像如图所示: 由图像可知,x∈[-1,1]时,ymin=2. 【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间的端点需不重不漏. (2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式. (3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图像时,可先将各段的图像分别画出来,从而得到整个函数的图像. 课时作业 16 一、选择题 1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像.由图像可知,下列说法中错误的是( ) A.这天15时的温度最高 B.这天3时的温度最低 C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D.这天21时的温度是30 ℃ 解析:这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14 ℃,故C错. 答案:C 2.已知f(x-1)=,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=1+x 解析:令x-1=t,则x=t+1,∴f(t)==, ∴f(x)=. 答案:C 3.函数y=的图像的大致形状是( ) 解析:因为y==所以函数的图像为选项A. 答案:A 4.已知函数f(x)=且f(a)+f(1)=0,则a等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:当a>0时,f(a)+f(1)=2a+2=0⇒a=-1,与a>0矛盾;当a≤0时,f(a)+f(1)=a+1+2=0⇒a=-3,符合题意. 答案:A 二、填空题 5.f(x)=的定义域为______,值域为______. 解析:函数定义域为[0,1]∪(1,2]=[0,2]. 当x∈(1,2]时,f(x)∈[0,1),故函数值域为[0,1)∪[0,1]=[0,1]. 答案:[0,2] [0,1] 6.已知函数f(2x+1)=3x+2,且f(a)=4,则a=________. 解析:因为f(2x+1)=(2x+1)+,所以f(a)=a+.又f(a)=4,所以a+=4,a=. 答案: 7.若f(x)-f(-x)=2x(x∈R),则f(2)=________. 解析:∵f(x)-f(-x)=2x, ∴ 得 相加得f(2)=4,f(2)=. 答案: 三、解答题 8.某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票,需要y元.试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数. 解析:(1)列表法 x/张 1 2 3 4 5 y/元 20 40 60 80 100 (2)图像法:如下图所示. (3)解析法:y=20x,x∈{1,2,3,4,5}. 9.求下列函数解析式: (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x); (2)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式. 解析:(1)由题意,设函数为f(x)=ax+b(a≠0), ∵3f(x+1)-f(x)=2x+9, ∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9, 即2ax+3a+2b=2x+9, 由恒等式性质,得 ∴a=1,b=3. ∴所求函数解析式为f(x)=x+3. (2)设x+1=t,则x=t-1, f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1, 即f(t)=t2+2t-2. ∴所求函数为f(x)=x2+2x-2. [尖子生题库] 10.画出下列函数的图像: (1)f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数); (2)f(x)=|x+2|. 解析:(1)f(x)=[x]=函数图像如图1所示. 图1 图2 (2)f(x)=|x+2|=画出y=x+2的图像,取[-2,+∞)上的一段;画出y=-x-2的图像,取(-∞,-2)上的一段,如图2所示. - 11 -- 配套讲稿:
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