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一次函数全章教案-新人教版

十九章 一次函数全章教案
课题：19.1.1变量与函数

知识与技能：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。增强对变量的理解
过程与方法：师生互动，讲练结合
情感态度世界观：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想
重点：变量与常量
难点：对变量的判断
教学媒体：多媒体电脑，绳圈
教学设计：
一、引入：
问题1：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s.
t/m
1
2
3
4
5
s/km

二、新课：

问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?

（2）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?

（3）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。指出上述问题中的变量和常量。
问题：（1）如图是某日的气温变化图。

① 这张图告诉我们哪些信息？
② 这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温变化规律的？
(2)收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和赫兹（KHz）为单位标刻的，下表中是一些对应的数：
波长l(m)
300
500
600
1000
1500
频率f(KHz)
1000
600
500
300
200
① 这表告诉我们哪些信息？
② 这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的，你能用一个表达式表示出来吗？

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
范例：例1 判断下列变量之间是不是函数关系：
（1） 长方形的宽一定时，其长与面积；
（2） 等腰三角形的底边长与面积；
（3） 某人的年龄与身高；
思考：自变量是否可以任意取值
例2 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
（1） 写出表示y与x的函数关系式.
（2） 指出自变量x的取值范围.
（3） 汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
解：（1）y=50-0.1x
（2）0≤x≤500
（3）x=200,y=30
小结：（1）函数概念（2）自变量，函数值（3）自变量的取值范围确定

课后反思

课题：19.1.2函数图象（一）

知识与技能：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象
结合函数图象，能体会出函数的变化情况
过程与方法：师生互动，讲练结合
情感态度世界观：增强动手意识和合作精神
重点：函数的图象
难点：函数图象的画法
教学媒体：多媒体电脑，直尺
教学说明：在画图象中体会函数的规律
教学设计：
一、引入：
问题1：下图是一张心电图，

问题2：下图是自动测温仪记录的图象，他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？

二、新课：
问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2， 你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。
范例：例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小名离家的距离.

根据图象回答问题：
（4） 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；
（5） 小明给菜地浇水用了多少时间？
（6） 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（7） 小明给玉米锄草用了多少时间？
（8） 玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
例2 在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：
（1）y=x+0.5; (2)y= (x>0)
解：

思考：画函数图象的一般步骤是什么？
三、小结：（1）什么是函数图象
（2）画函数图象的一般步骤
四、课后反思

课题：19.1.3函数图象（二）

知识与技能：学会函数不同表示方法的转化，会由函数图象提取信息
正确识别函数图象
过程与方法：师生互动，讲练结合
情感态度世界观：激发学生的探索精神
重点：利用函数图象解决问题
难点：从函数图象中提取信息
教学媒体：多媒体电脑，直尺
教学说明：在画图象中找函数的规律
教学设计：
一、引入：
问题1：

信息2：
二、新课：
函数的表示方法为列表法、解析式法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。
范例：例1 一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.

(1) 由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；
(2) 据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？
解：（1）y=0.05t+10 (0≤t≤7)

（2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35
预计2小时后水位将达到10.35米。
思考：函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系？
例2 已知函数y=2x-3，求：
（1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
（2）x取什么值时，函数值大于1；
（3）若该函数图象和函数y=-x+k相交于x轴上一点，试求k的值.
活动2：在同一直角坐标系中，画出函数y=-x与函数y=2x-1的图象，并求出它们的交点坐标.
三、练习：81页
四、小结：（1）函数的三种表示方法；
（2）函数图象上点的坐标与函数关系式之间的关系；
课后反思

五、课后反思

19．2．1 正比例函数

教学目标
（一）教学知识点
知识与技能：认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
过程与方法：师生互动，讲练结合
情感态度世界观：回用运动的观点观察事物，分析事物
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．

教学过程

一．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
解：１．根据圆的周长公式可得：L=2r．
２．依据密度公式p=可得：m=7．8V．
３．据题意可知： h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．

   一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
活动内容设计：
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
１．y=2x ２．y=-2x
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6

画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
-6

画出图象如图（2）．
３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限．
尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y=x ２．y=-x

x
-6
-4
-2
0
2
4
6
y=x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=-x
3
2
1
0
-1
-2
-3

比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
[活动二]
活动内容设计：
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？

经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=x ２．y=-3x
解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：
１．y= x （2，3）
２．y=-3x （1，-3）

IV 小结：
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
V课后作业
课后反思

19．2．2 一次函数(一)

教学目标
（一）知识与技能：
１．掌握一次函数解析式的特点及意义．毛
２．知道一次函数与正比例函数关系．
３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．
４．会用简单方法画一次函数图象．
过程与方法：．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．
情感态度世界观：利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．
教学重点
１．一次函数解析式特点．
２．一次函数图象特征与解析式联系规律．
３．一次函数图象的画法．
教学难点
１．一次函数与正比例函数关系．
２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．
教学方法
合作─探究，总结─归纳．
教具准备
多媒体演示．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y与x的关系．
分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：
y=15-6x （x≥0）
当然，这个函数也可表示为：
y=-6x+15 （x≥0）
当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．
Ⅱ．导入新课
我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？
１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差．
２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．

３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．
４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．
这些问题的函数解析式分别为：
１．C=7t-35． ２．G=h-105．
３．y=0．01x+22． ４．y=-5x+50．
它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．
如果我们用b来表示这个常数的话．这些函数形式就可以写成：
y=kx+b（k≠0）
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linearfunction）．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
练习：
１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y=-8x． （2）y=．
（3）y=5x2+6． （3）y=-0．5x-1．
２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．
（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？
（2）求第2．5秒时小球的速度．
３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？
解答：
１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．
２．（1）v=2t，它是一次函数．
（2）当t=2．5时，v＝2×2．5=5
所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．
３．函数解析式：y=50-5x
自变量取值范围：0≤x≤10
y是x的一次函数．
三、 练习：
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．

猜想：一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？
结论：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线
y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。
画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.

过（0，-1）点与（1，1）点画出直线y=2x-1．
过（0，1）点与（1，0．5）点画出直线y=-0.5x+1．

2、 画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象．由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？

图象：

规律：
当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降．
性质：
当k>0时，y随x增大而增大．
当k<0时，y随x增大而减小．
Ⅲ．随堂练习
１．直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，图象经过第________象限，y随x增大而_________．
２．分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？
（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0
（3）k<0 b>0 （4）k<0 b<0

3、 在同一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中b对函数图象的影响．
１．y=x-1 y=x y=x+1
２．y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1
过程与结论：

b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标（0，b）．
当b>0时，交点在原点上方．
当b=0时，交点即原点．
当b<0时，交点在原点下方．
四、 小结
本节学习了一次函数的意义，知道了其解析式、图象特征，并学会了简单方法画图象，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征与解析式的联系，这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性．

五、课后作业
六、课后反思

19．2．2 一次函数(二)

教学目标
（一）知识与技能
１．学会用待定系数法确定一次函数解析式．
２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用

１．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．
２．体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题．
教学重点
待定系数法确定一次函数解析式．
教学难点
灵活运用有关知识解决相关问题．

教学方法
归纳─总结
教具准备
多媒体演示．
教学过程
１．提出问题，创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？
这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？
Ⅱ．导入新课
有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法．
[活动]
活动设计内容：
已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．
设这个一次函数解析式为y=kx+b．
因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以
解之，得
故这个一次函数解析式为y=2x-1。结论：

像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
练习：
１．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．
２．已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．

ⅡI 、下面我们来学习一次函数的应用．
例1 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．
分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．
解：y=

我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

Ⅳ．小结
本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．
Ⅴ．课后作业
课后反思

19.3．1 一次函数与一元一次方程

１．方程2x+20=0
２．函数y=2x+20
观察思考：二者之间有什么联系？
从数上看：
方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为0时，对应自变量的值
从形上看：函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解

关系：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
例1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？
（用两种方法求解）
解法一：设再过x秒物体速度为17m/s．
由题意可知：2x+5=17
解之得：x=6．
解法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，
关系式为：y=2x+5．
当函数值为17时，对应的自变量x值可通过
解方程2x+5=17得到x=6
解法三：由2x+5=17可变形得到：
2x-12=0．
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．

例2 利用图象求方程6x-3=x+2的解 ，并笔算检验
解法一：
由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），
故可得x=1

我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，交点的横坐标即是方程的解．

解法二：
由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1
小结
本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用

课后作业

课后反思
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