2022年江苏省南通市中考数学试卷解析.docx

2022年江苏省南通市中考数学试卷
一.选择题〔每题3分，共30分，四个选项只有一个是符合题意的〕
1．〔3分〕〔2022•南通〕如果水位升高6m时水位变化记作+6m，那么水位下降6m时水位变化记作〔　　〕

A．
﹣3m
B．
3m
C．
6m
D．
﹣6m
2．〔3分〕〔2022•南通〕下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有〔　　〕

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
3．〔3分〕〔2022•南通〕据统计：2022年南通市在籍人口总数约为7700000人，将7700000用科学记数法表示为〔　　〕

A．
0.77×107
B．
7.7×107
C．
0.77×106
D．
7.7×106
4．〔3分〕〔2022•龙岩〕以下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

5．〔3分〕〔2022•南通〕以下长度的三条线段能组成三角形的是〔　　〕

A．
5，6，10
B．
5，6，11
C．
3，4，8
D．
4a，4a，8a〔a＞0〕
6．〔3分〕〔2022•南通〕如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点〔2，1〕，那么tanα的值是〔　　〕

A．

B．

C．

D．
2
7．〔3分〕〔2022•南通〕在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，假设每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，那么a的值约为〔　　〕

A．
12
B．
15
C．
18
D．
21
8．〔3分〕〔2022•南通〕关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，那么b的取值范围是〔　　〕

A．
﹣3＜b＜﹣2
B．
﹣3＜b≤﹣2
C．
﹣3≤b≤﹣2
D．
﹣3≤b＜﹣2
9．〔3分〕〔2022•南通〕在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y〔单位：km〕随时间x〔单位：h〕变化的图象如下列图，根据图中提供的信息，有以下说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有〔　　〕

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
10．〔3分〕〔2022•南通〕如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，那么AE的长为〔　　〕

A．
2.5
B．
2.8
C．
3
D．
3.2
二.填空题〔每题3分，共24分〕
11．〔3分〕〔2022•南通〕因式分解4m2﹣n2=．
12．〔3分〕〔2022•南通〕方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，那么x1+x2的值等于．
13．〔3分〕〔2022•南通〕计算〔x﹣y〕2﹣x〔x﹣2y〕=．
14．〔3分〕〔2022•南通〕甲乙两人8次射击的成绩如下列图〔单位：环〕根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是〔填“甲〞或“乙〞〕
15．〔3分〕〔2022•南通〕如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，那么CD=cm．
16．〔3分〕〔2022•南通〕如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，那么∠ADC=度．
17．〔3分〕〔2022•南通〕如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，那么的值等于．
18．〔3分〕〔2022•南通〕关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间〔不包括﹣1和0〕，那么a的取值范围是．
三.解答题〔共10小题，共96分〕
19．〔10分〕〔2022•南通〕〔1〕计算：〔﹣2〕2﹣+〔﹣3〕0﹣〔〕﹣2
〔2〕解方程：=．
20．〔8分〕〔2022•南通〕如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值〔结果保存根号〕．
21．〔10分〕〔2022•南通〕为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取局部同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：
〔1〕假设抽取的成绩用扇形图来描述，那么表示“第三组〔79.5～89.5〕〞的扇形的圆心角为度；
〔2〕假设成绩在90分以上〔含90分〕的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖
〔3〕某班准备从成绩最好的4名同学〔男、女各2名〕中随机选取2名同学去社区进行环保宣传，那么选出的同学恰好是1男1女的概率为．
22．〔8分〕〔2022•南通〕由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程〔组〕解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
23．〔8分〕〔2022•南通〕如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A〔﹣1，2〕，B〔2，b〕两点，与y轴相交于点C．
〔1〕求m，n的值；
〔2〕假设点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
24．〔8分〕〔2022•南通〕如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
〔1〕求∠P的度数；
〔2〕假设⊙O的半径长为4cm，求图中阴影局部的面积．
25．〔8分〕〔2022•南通〕如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
〔1〕求证：△AED≌△CFB；
〔2〕假设∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．
26．〔10分〕〔2022•南通〕某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．假设一次性购置不超过10件时，售价不变；假设一次性购置超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．该服装本钱是每件200元，设顾客一次性购置服装x件时，该网店从中获利y元．
〔1〕求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
〔2〕顾客一次性购置多少件时，该网店从中获利最多
27．〔13分〕〔2022•南通〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x〔0＜x＜3〕．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
〔1〕求证：PQ∥AB；
〔2〕假设点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
〔3〕假设△PDE与△ABC重叠局部图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．
28．〔13分〕〔2022•南通〕抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1〔m是常数〕的顶点为P，直线l：y=x﹣1
〔1〕求证：点P在直线l上；
〔2〕当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ〔如图〕，求点M的坐标；
〔3〕假设以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
2022年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题〔每题3分，共30分，四个选项只有一个是符合题意的〕
1．〔3分〕〔2022•南通〕如果水位升高6m时水位变化记作+6m，那么水位下降6m时水位变化记作〔　　〕

A．
﹣3m
B．
3m
C．
6m
D．
﹣6m
考点：
正数和负数．菁优网版权所有
分析：
首先审清题意，明确“正〞和“负〞所表示的意义，再根据题意作答．
解答：
解：因为上升记为+，所以下降记为﹣，
所以水位下降6m时水位变化记作﹣6m．
应选：D．
点评：
考查了正数和负数，解题关键是理解“正〞和“负〞的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，那么另一个就用负表示．
2．〔3分〕〔2022•南通〕下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有〔　　〕

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据俯视图是从上面看所得到的图形判断即可．
解答：
解：从上面看，三棱柱的俯视图为三角形；圆柱的俯视图为圆；四棱锥的俯视图是四边形；球的俯视图是圆；俯视图是圆的几何体共有2个．
应选：B．
点评：
此题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．〔3分〕〔2022•南通〕据统计：2022年南通市在籍人口总数约为7700000人，将7700000用科学记数法表示为〔　　〕

A．
0.77×107
B．
7.7×107
C．
0.77×106
D．
7.7×106
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将7700000用科学记数法表示为7.7×106．
应选D．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．〔3分〕〔2022•龙岩〕以下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
应选：A．
点评：
此题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
5．〔3分〕〔2022•南通〕以下长度的三条线段能组成三角形的是〔　　〕

A．
5，6，10
B．
5，6，11
C．
3，4，8
D．
4a，4a，8a〔a＞0〕
考点：
三角形三边关系．菁优网版权所有
分析：
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
解答：
解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；
B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．
应选A．
点评：
此题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．
6．〔3分〕〔2022•南通〕如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点〔2，1〕，那么tanα的值是〔　　〕

A．

B．

C．

D．
2
考点：
解直角三角形；坐标与图形性质．菁优网版权所有
分析：
设〔2，1〕点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解．
解答：
解：设〔2，1〕点是B，作BC⊥x轴于点C．
那么OC=2，BC=1，
那么tanα==．
应选C．

点评：
此题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键．
7．〔3分〕〔2022•南通〕在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，假设每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，那么a的值约为〔　　〕

A．
12
B．
15
C．
18
D．
21
考点：
利用频率估计概率．菁优网版权所有
分析：
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解答：
解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15．
应选：B．
点评：
此题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
8．〔3分〕〔2022•南通〕关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，那么b的取值范围是〔　　〕

A．
﹣3＜b＜﹣2
B．
﹣3＜b≤﹣2
C．
﹣3≤b≤﹣2
D．
﹣3≤b＜﹣2
考点：
一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
分析：
表示出不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出b的范围即可．
解答：
解：不等式x﹣b＞0，
解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜2
应选D．
点评：
此题考查了一元一次不等式的整数解，弄清题意是解此题的关键．
9．〔3分〕〔2022•南通〕在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y〔单位：km〕随时间x〔单位：h〕变化的图象如下列图，根据图中提供的信息，有以下说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有〔　　〕

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
根据题目所给的图示可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，乙比甲先到达终点．
解答：
解：由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；
出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，故①错误；
出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，乙的行程比甲多3km，故③错误；
乙比甲先到达终点，故④错误．
正确的只有①．
应选A．
点评：
此题考查了一次函数的应用，行程问题的数量关系速度=路程后÷时间的运用，解答时理解函数的图象的含义是关键．
10．〔3分〕〔2022•南通〕如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，那么AE的长为〔　　〕

A．
2.5
B．
2.8
C．
3
D．
3.2
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出=，可解得DE的长，由AE=AB﹣DE求解即可得出答案．
解答：
解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，

∴△ABD∽△BED，
∴=，即=，
解得DE=，
∴AE=AB﹣DE=5﹣=2.8．
点评：
此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．
二.填空题〔每题3分，共24分〕
11．〔3分〕〔2022•南通〕因式分解4m2﹣n2=　〔2m+n〕〔2m﹣n〕　．
考点：
因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式利用平方差公式分解即可．
解答：
解：原式=〔2m+n〕〔2m﹣n〕．
故答案为：〔2m+n〕〔2m﹣n〕
点评：
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
12．〔3分〕〔2022•南通〕方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，那么x1+x2的值等于　﹣2　．
考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可．
解答：
解：∵方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，
∴x1+x2=﹣=﹣2，
故答案为：﹣2．
点评：
此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键．
13．〔3分〕〔2022•南通〕计算〔x﹣y〕2﹣x〔x﹣2y〕=　y2．
考点：
整式的混合运算．菁优网版权所有
分析：
根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
解答：
解：〔x﹣y〕2﹣x〔x﹣2y〕
=x2﹣2xy+y2﹣x2+2xy
=y2
点评：
此题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法那么是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
14．〔3分〕〔2022•南通〕甲乙两人8次射击的成绩如下列图〔单位：环〕根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是　甲　〔填“甲〞或“乙〞〕
考点：
方差；折线统计图．菁优网版权所有
分析：
根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察图中的信息可知小华的方差较小，故甲的成绩更加稳定．
解答：
解：由图说明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，
那么S甲2＜S乙2，即两人的成绩更加稳定的是甲．
故答案为：甲．
点评：
此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，说明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，说明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．〔3分〕〔2022•南通〕如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，那么CD=　8　cm．
考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．
解答：
解：由垂径定理，得
AC=AB=12cm．
有半径相等，得
OA=OD=13cm．
由勾股定理，得
OC===5．
由线段的和差，得
CD=OD﹣OC=13﹣5=8cm，
故答案为：8．
点评：
此题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．
16．〔3分〕〔2022•南通〕如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，那么∠ADC=　52　度．
考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
解答：
解：∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，
设∠ADC=α，
∴∠B=∠BAD=，
∵∠BAC=102°，
∴∠DAC=102°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴2α+102°﹣=180°，
解得：α=52°．
故答案为：52．
点评：
此题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．
17．〔3分〕〔2022•南通〕如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，那么的值等于．
考点：
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
分析：
首先根据=设AD=BC=a，那么AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=a，然后根据射影定理得到BC2=CE•CA，AB2=AE•AC从而求得CE=，AE=，得到=，利用△CEF∽△AEB，求得=〔〕2=．
解答：
解：∵=，
∴设AD=BC=a，那么AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC
∴a2=CE•a，2a2=AE•a，
∴CE=，AE=，
∴=，
∵△CEF∽△AEB，
∴=〔〕2=，
故答案为：．
点评：
此题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决此题起到至关重要的作用，难度不大．
18．〔3分〕〔2022•南通〕关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间〔不包括﹣1和0〕，那么a的取值范围是＜a＜﹣2　．
考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
分析：
首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间〔不包括﹣1和0〕，结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．
解答：
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根，
∴△=〔﹣3〕2﹣4×a×〔﹣1〕＞0，
解得：a＞，
设fx=ax2﹣3x﹣1
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴当a＞0时，如图①，f〔﹣1〕＞0，f〔0〕＞0
f〔0〕=a×02﹣3×0﹣1=﹣1＜0，
∴此种情况不存在；
当a＜0时，如图②，f〔﹣1〕＜0，f〔0〕＜0，
即f〔﹣1〕=a×〔﹣1〕2﹣3×〔﹣1〕﹣1＜0，f〔0〕=﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案为：＜a＜﹣2．

点评：
此题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=﹣1时函数值的取值范围是解答此题的关键．
三.解答题〔共10小题，共96分〕
19．〔10分〕〔2022•南通〕〔1〕计算：〔﹣2〕2﹣+〔﹣3〕0﹣〔〕﹣2
〔2〕解方程：=．
考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用负整数指数幂法那么计算即可得到结果；
〔2〕分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：
解：〔1〕原式=4﹣4+1﹣9=﹣8；
〔2〕去分母得：x+5=6x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
20．〔8分〕〔2022•南通〕如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值〔结果保存根号〕．
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
过P作PC垂直于AB，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AC与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出CB的长，由AC+CB求出AB的长即可．
解答：
解：过P作PC⊥AB于点C，
在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，
∴AC=AP•sin45°=40×=40〔海里〕，PC=AP•cos45°=40×=40〔海里〕，
在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，
∴BC=PC•tan60°=40〔海里〕，
那么AB=AC+BC=〔40+40〕海里．

点评：
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解此题的关键．
21．〔10分〕〔2022•南通〕为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取局部同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：
〔1〕假设抽取的成绩用扇形图来描述，那么表示“第三组〔79.5～89.5〕〞的扇形的圆心角为　144　度；
〔2〕假设成绩在90分以上〔含90分〕的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖
〔3〕某班准备从成绩最好的4名同学〔男、女各2名〕中随机选取2名同学去社区进行环保宣传，那么选出的同学恰好是1男1女的概率为．
考点：
列表法与树状图法；用样本估计总体；频数〔率〕分布直方图；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由第三组〔79.5～89.5〕的人数即可求出其扇形的圆心角；
〔2〕首先求出50人中成绩在90分以上〔含90分〕的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校约有多少名同学获奖；
〔3〕列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女〞的情况数，即可求出所求的概率．
解答：
解：〔1〕由直方图可知第三组〔79.5～89.5〕所占的人数为20人，
所以“第三组〔79.5～89.5〕〞的扇形的圆心角==144°，
故答案为：144；
〔2〕估计该校获奖的学生数=×2000=640〔人〕；
〔3〕列表如下：

男
男
女
女
男
﹣﹣﹣
〔男，男〕
〔女，男〕
〔女，男〕
男
〔男，男〕
﹣﹣﹣﹣
〔女，男〕
〔女，男〕
女
〔男，女〕
〔男，女〕
﹣﹣﹣
〔女，女〕
女
〔男，女〕
〔男，女〕
〔女，女〕
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女〞的情况有8种，
那么P〔选出的两名主持人“恰好为一男一女〞〕==．
故答案为：．
点评：
此题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．
22．〔8分〕〔2022•南通〕由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程〔组〕解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
考点：
二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析：
1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨根据题意可知，此题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨〞和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨〞，列方程组求解即可．
解答：
解：此题的答案不唯一．
问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意，得，
解得．
那么x+y=4+2.5=6.5〔吨〕．
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
点评：
此题考查了二元一次方程组的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
23．〔8分〕〔2022•南通〕如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A〔﹣1，2〕，B〔2，b〕两点，与y轴相交于点C．
〔1〕求m，n的值；
〔2〕假设点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
〔2〕得出点C和点D的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
解答：
解：〔1〕把x=﹣1，y=2；x=2，y=b代入y=，
解得：k=﹣2，b=﹣1；
把x=﹣1，y=2；x=2，y=﹣1代入y=mx+n，
解得：m=﹣1，n=1；
〔2〕直线y=﹣x+1与y轴交点C的坐标为〔0，1〕，所以点D的坐标为〔0，﹣1〕，
点B的坐标为〔2，﹣1〕，所以△ABD的面积=．
点评：
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解那么两者有交点，方程组无解，那么两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．
24．〔8分〕〔2022•南通〕如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
〔1〕求∠P的度数；
〔2〕假设⊙O的半径长为4cm，求图中阴影局部的面积．
考点：
切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
〔2〕由S阴影=2×〔S△PAO﹣S扇形〕那么可求得结果．
解答：
解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=120°，
∴∠P=360°﹣〔90°+90°+120°〕=60°．
∴∠P=60°．
〔2〕连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴APB=30°，
在RT△APO中，tan30°=，
∴AP===4cm，
∴S阴影=2S△AOP﹣S扇形=2×〔×4×﹣〕=〔16﹣〕〔cm2〕．

点评：
此题考查了切线的性质，解直角三角函数，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
25．〔8分〕〔2022•南通〕如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
〔1〕求证：△AED≌△CFB；
〔2〕假设∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
〔1〕由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；
〔2〕过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证．
解答：
证明：〔1〕∵平行四边形ABCD，
∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB=∠FBD=90°，
∴∠ADE=∠CBF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB〔ASA〕；
〔2〕作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠A=30°，
∴AD=2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB=45°，
∴EB=2DH，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴FD=EB，
∴DA=DF．

点评：
此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
26．〔10分〕〔2022•南通〕某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．假设一次性购置不超过10件时，售价不变；假设一次性购置超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．该服装本钱是每件200元，设顾客一次性购置服装x件时，该网店从中获利y元．
〔1〕求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
〔2〕顾客一次性购置多少件时，该网店从中获利最多
考点：
二次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；
〔2〕根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．
解答：
解：〔1〕y=，
〔2〕在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；
在10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x，
当x=21时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客一次购置22件时，该网站从中获利最多．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出y与x的函数关系是解题关键．
27．〔13分〕〔2022•南通〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x〔0＜x＜3〕．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
〔1〕求证：PQ∥AB；
〔2〕假设点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
〔3〕假设△PDE与△ABC重叠局部图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．
考点：
几何变换综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出结论；
〔2〕连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，进而得出结论；
〔3〕当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3两种情况进行分类讨论．
解答：
〔1〕证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，
∴AC===12．
∵==，==，
∴=．
∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ=∠B，
∴PQ∥AB；

〔2〕解：连接AD，
∵PQ∥AB，
∴∠ADQ=∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ=∠DAB，
∴∠ADQ=∠DAQ，
∴AQ=DQ．
在Rt△CPQ中，PQ=5x，
∵PD=PC=3x，
∴DQ=2x．
∵AQ=12﹣4x，
∴12﹣4x=2x，解得x=2，
∴CP=3x=6．

〔3〕解：当点E在AB上时，
∵PQ∥AB，
∴∠DPE=∠PEB．
∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，
∴∠B=∠PEB，
∴PB=PE=5x，
∴3x+5x=9，解得x=．
①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤；
②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，
∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，
∴==．
∵PG=PB=9﹣3x，
∴==，
∴GH=〔9﹣3x〕，PH=〔9﹣3x〕，
∴FG=DH=3x﹣〔9﹣3x〕，
∴T=PG+PD+DF+FG=〔9﹣3x〕+3x+〔9﹣3x〕+[3x﹣〔9﹣3x〕]
=x+，
此时，＜T＜18．
∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，
∴T=12时，即12x=12，解得x=1；
TA=16时，即x+=16，解得x=．
∵12≤T≤16，
∴x的取值范围是1≤x≤．

点评：
此题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，在解答〔3〕时要注意进行分类讨论．
28．〔13分〕〔2022•南通〕抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1〔m是常数〕的顶点为P，直线l：y=x﹣1
〔1〕求证：点P在直线l上；
〔2〕当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，