六年级奥数39周牛吃草问题.pptx

引入题：一堆草可供引入题：一堆草可供10头牛吃头牛吃3天，供天，供6头牛吃几天？头牛吃几天？改改：一一堆草堆草 一一片正在生长的草地片正在生长的草地 牛吃草问题牛吃草问题一、定义：一、定义：这类工作总量不固定（均匀变化）这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是的问题就是“牛吃草牛吃草”问题。最早问题。最早是是牛顿提出来的（牛顿提出来的（普通算术普通算术），），所以又叫这类问题为所以又叫这类问题为“牛顿问题牛顿问题”分析：这片草地上的草的总数量每分析：这片草地上的草的总数量每天都在变化，天都在变化，解题的关键应找到不解题的关键应找到不变量变量：1、原来的草的数量没变。、原来的草的数量没变。2、因为总草量可以分成两部分：、因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。的数量也是不变的。3、每天牛吃草的量也是不变的、每天牛吃草的量也是不变的10头牛吃头牛吃20天的草天的草10头牛吃头牛吃20天的草天的草草地原有的草草地原有的草草地原有的草草地原有的草20天长出的草天长出的草10天长出的草天长出的草引入一种巧妙的设未知数的方法，引入一种巧妙的设未知数的方法，叫做设叫做设1法法。设牛每天吃草的数量设牛每天吃草的数量为为1份份 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供供2727头牛吃头牛吃6 6周或周或2323头牛吃头牛吃9 9周，那么这片草地可周，那么这片草地可供供2121头牛吃几周？头牛吃几周？分析：分析：这片草地上的草的数量每天都在变化，解题这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量的关键应找到不变量即原来的草的数量。因为即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设假设1 1头牛一周吃的草的数量为头牛一周吃的草的数量为1 1份，那么份，那么2727头头牛牛6 6周需要吃周需要吃276=162276=162（份），此时新草与原有的（份），此时新草与原有的草均被吃完；草均被吃完；一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供供2727头牛吃头牛吃6 6周或周或2323头牛吃头牛吃9 9周，那么这片草地可周，那么这片草地可供供2121头牛吃几周？头牛吃几周？23 23头牛头牛9 9周需吃周需吃239=207239=207（份），此时新草与（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而原有的草也均被吃完。而162162份是原有的草的数量份是原有的草的数量与与6 6周新长出的草的数量的总和；周新长出的草的数量的总和；207207份是原有的草份是原有的草的数量与的数量与9 9周新长出的草的数量的总和，因此每周周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（新长出的草的份数为：（207-162207-162）（9-9-6 6）=15=15（份），所以，原有草的数量为：（份），所以，原有草的数量为：162-162-156=72156=72（份）。这片草地每周新长草（份）。这片草地每周新长草1515份相当于份相当于可安排可安排1515头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供供2121头牛吃头牛吃7272（21-1521-15）1212（周）（周）练习练习1 1 1.1.一片草地，每天都匀速长出青草，如果可一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供供2424头牛吃头牛吃6 6天，天，2020头牛吃头牛吃1010天，那么可供天，那么可供1919头头牛吃几天？牛吃几天？2.2.牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供片牧草可供1010头牛吃头牛吃2020天，或者可供天，或者可供1515头牛吃头牛吃1010天，问可供天，问可供2525头牛吃几天？头牛吃几天？3.3.牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供可供2727头牛吃头牛吃6 6周或周或2323头牛吃头牛吃9 9周，那么这片草地周，那么这片草地可供可供2121头牛吃几周？头牛吃几周？由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供供2020头牛吃头牛吃5 5天或可供天或可供1515头牛吃头牛吃6 6天。照此计算，天。照此计算，可供多少头牛吃可供多少头牛吃1010天？天？分析：与例分析：与例1 1不同的是，不仅没有新长出的草，而不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可以利用与且原有的草还在减少，但是，我们同样可以利用与例例1 1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。量。设设1 1头牛头牛1 1天吃的草为天吃的草为1 1份，份，2020头牛头牛5 5天吃天吃100100份，份，1515头牛头牛6 6天吃天吃9090份，份，100-90=10100-90=10（份），说明寒冷的（份），说明寒冷的天气使牧场天气使牧场1 1天减少青草天减少青草1010份，也就是寒冷导致的份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于每天减少的草量相当于1010头牛在吃草。头牛在吃草。由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供供2020头牛吃头牛吃5 5天或可供天或可供1515头牛吃头牛吃6 6天。照此计算，天。照此计算，可供多少头牛吃可供多少头牛吃1010天？天？由由“草地上的草可供草地上的草可供2020头牛吃头牛吃5 5天天”，再加上，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于寒冷导致的每天减少的草量相当于1010头牛同时在吃头牛同时在吃草，所以原有草量有（草，所以原有草量有（20+1020+10）5=1505=150（份），由（份），由15010=1515010=15知道，牧场原有的草可供知道，牧场原有的草可供1515头牛吃头牛吃1010天。天。由寒冷导致的原因占去由寒冷导致的原因占去1010头牛吃的草，所以可供头牛吃的草，所以可供5 5头牛吃头牛吃1010天。天。练习练习2 2 1.1.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供2020头头牛吃牛吃5 5天或可供天或可供1616头牛吃头牛吃6 6天。那么，可供天。那么，可供1111头牛头牛吃几天？吃几天？2.2.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草可供度在减少。已知牧场上的草可供3333头牛吃头牛吃5 5天或天或可供可供2424头牛吃头牛吃6 6天。照此计算，这个牧场可供多天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃少头牛吃1010天？天？3.3.经测算，地球上的资源可供经测算，地球上的资源可供100100亿人生活亿人生活100100年，或可供年，或可供8080亿人生活亿人生活300300年。假设地球新生成年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走2020级台级台阶，女孩每分钟走阶，女孩每分钟走1515级台阶，结果男孩用级台阶，结果男孩用5 5分钟分钟到达楼上，女孩用了到达楼上，女孩用了6 6分钟到达楼上。问：该扶分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？梯共有多少级台阶？分析：与前两个题比较，分析：与前两个题比较，“总的草量总的草量”变成了变成了“扶扶梯的台阶总数梯的台阶总数”，“草草”变成了变成了“台阶台阶”，“牛牛”变成了变成了“速度速度”，也可以看成是牛吃草问题。，也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走2020级台级台阶，女孩每分钟走阶，女孩每分钟走1515级台阶，结果男孩用级台阶，结果男孩用5 5分钟分钟到达楼上，女孩用了到达楼上，女孩用了6 6分钟到达楼上。问：该扶分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？梯共有多少级台阶？男孩男孩5 5分钟走了分钟走了205=100205=100（级），女孩（级），女孩6 6分钟分钟走了走了156=90156=90（级），女孩比男孩少走了（级），女孩比男孩少走了10010090=1090=10（级），多用了（级），多用了65=165=1（分钟），说明电梯（分钟），说明电梯1 1分钟走分钟走1010级。因男孩级。因男孩5 5分钟到达楼上，他上楼的速分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（有（20+1020+10）5=1505=150（级）（级）练习练习3 3：1.1.自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分钟走楼。已知小明每分钟走2525级台阶，小红级台阶，小红 每分钟走每分钟走2020级级台阶，结果小明用台阶，结果小明用5 5分钟，小红用了分钟，小红用了6 6分钟分别到达楼上。分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？该扶梯共有多少级台阶？2.2.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在2020秒钟秒钟里，男孩可走里，男孩可走2727级台阶，女孩可走级台阶，女孩可走2424级台阶，男孩走了级台阶，男孩走了2 2分钟到达另一端，女孩走了分钟到达另一端，女孩走了3 3分钟到达另一端，该扶梯分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？共有多少级台阶？3.3.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的。一只白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬每天白天爬2020分米，另一只爬分米，另一只爬1515分米。黑夜里往下滑，分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了了5 5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用了个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用了6 6个昼夜到达个昼夜到达井底。那么，井深多少米？井底。那么，井深多少米？一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用发现漏洞时已经进了一些水。如果用1212人舀水，人舀水，3 3小时舀完。如果只有小时舀完。如果只有5 5个人舀水，要个人舀水，要1010小时才能小时才能舀完。现在要想舀完。现在要想2 2小时舀完，需要多少人？小时舀完，需要多少人？分析：已漏进的水，加上分析：已漏进的水，加上3 3小时漏进的水，每小时小时漏进的水，每小时需要（需要（123123）人舀完，也就是）人舀完，也就是3636人用人用1 1小时才能舀小时才能舀完。已漏进的水，加上完。已漏进的水，加上1010小时漏进的水，每小时需小时漏进的水，每小时需要（要（510510）人舀完，也就是）人舀完，也就是5050人用人用1 1小时才能舀完。小时才能舀完。通过比较，我们可以得出通过比较，我们可以得出1 1小时内漏进的水及船中小时内漏进的水及船中已漏进的水。已漏进的水。一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用发现漏洞时已经进了一些水。如果用1212人舀水，人舀水，3 3小时舀完。如果只有小时舀完。如果只有5 5个人舀水，要个人舀水，要1010小时才能小时才能舀完。现在要想舀完。现在要想2 2小时舀完，需要多少人？小时舀完，需要多少人？1 1小时漏进的水，小时漏进的水，2 2个人用个人用1 1小时能舀完：小时能舀完：（510123510123）（103103）=2=2 已漏进的水：（已漏进的水：（122122）3=303=30 已漏进的水加上已漏进的水加上2 2小时漏进的水，需小时漏进的水，需3434人人1 1小时小时完成：完成：30+22=3430+22=34 用用2 2小时来舀完这些水需要小时来舀完这些水需要1717人：人：342=17342=17（人）（人）练习练习4 4：1.1.有一水池，池底有泉水不断涌出。用有一水池，池底有泉水不断涌出。用1010部抽水机部抽水机2020小时可以把水抽干，用小时可以把水抽干，用1515部相同的抽水机部相同的抽水机1010小时可以小时可以把水抽干。那么用把水抽干。那么用2525部这样的抽水机多少小时可以把水部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？抽干？2.2.有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水有一个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水3030立立方分米，方分米，7 7小时可以注满水箱；如果每小时注水小时可以注满水箱；如果每小时注水4545立方立方分米，注满水箱可少用分米，注满水箱可少用2.52.5小时。那么每小时由底面小小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？3.3.有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用量相等。如果用3 3台抽水机来抽水，台抽水机来抽水，3636分钟可以抽完；分钟可以抽完；如果使用如果使用5 5台抽水机，台抽水机，2020分钟抽完。现在分钟抽完。现在1212分钟内要抽分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？完井水，需要抽水机多少台？有三块草地，面积分别为有三块草地，面积分别为5 5，6 6，和，和8 8公顷。草地公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供可供1111头牛吃头牛吃1010天，第二块草地可供天，第二块草地可供1212头牛吃头牛吃1414天。问第三块草地可供天。问第三块草地可供1919头牛吃多少天？头牛吃多少天？分析：前面我们接触的是在同一块草地上，同一个分析：前面我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即55，6 6，8=1208=120；这样，第一块；这样，第一块5 5公顷可供公顷可供1111头牛吃头牛吃1010天，天，1205=241205=24，变为，变为120120公顷草地可供公顷草地可供1124=2641124=264（头）（头）牛吃牛吃1010天；第二块天；第二块6 6公顷可供公顷可供1212头牛吃头牛吃1414天。天。1206=201206=20，变为，变为120120公顷草地可供公顷草地可供1220=2401220=240（头）（头）牛吃牛吃1414天。天。1208=151208=15。问题变成：。问题变成：120120公顷草地可公顷草地可供供1915=2851915=285（头）牛吃几天？（头）牛吃几天？有三块草地，面积分别为有三块草地，面积分别为5 5，6 6，和，和8 8公顷。草地公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供可供1111头牛吃头牛吃1010天，第二块草地可供天，第二块草地可供1212头牛吃头牛吃1414天。问第三块草地可供天。问第三块草地可供1919头牛吃多少天？头牛吃多少天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：为：一块草地匀速生长，可供一块草地匀速生长，可供264264头牛吃头牛吃1010天或供天或供240240头牛吃头牛吃1414天，天，那么可供那么可供285285头牛吃几天？即头牛吃几天？即 每天新长出的草：（每天新长出的草：（24014240142641026410）（14101410）=180=180（份）（份）草地原有草：（草地原有草：（264180264180）10=84010=840（份）（份）可供可供285285头牛吃的时间：头牛吃的时间：840840（285285180180）=8=8（天）（天）练习练习5 5：1.1.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开同时开4 4个检票口需个检票口需3030分钟，同时开分钟，同时开5 5个检票口需个检票口需2020分钟。分钟。如果同时打开如果同时打开7 7个检票口，那么需多少分钟？个检票口，那么需多少分钟？2.2.快、中、慢三车同时从快、中、慢三车同时从A A地出发，追赶一辆正在行地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是嵋小时驶的自行车，三车的速度分别是嵋小时2424千米、千米、2020千米、千米、1919千米。快车追上自行车用了千米。快车追上自行车用了6 6小时，中车追上自行车小时，中车追上自行车用了用了1010小时，慢车追上自行车用多少小时？小时，慢车追上自行车用多少小时？3.3.一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供1717头牛吃头牛吃3030天，或供天，或供1919头牛吃头牛吃2424天。现有一群牛吃了天。现有一群牛吃了6 6天后卖掉天后卖掉4 4头，余下的牛又吃了头，余下的牛又吃了2 2天将草吃完。这群牛原天将草吃完。这群牛原来有多少头？来有多少头？