2018年八年级数学上册暑期同步提高课程第六讲角平分线的性质讲义新人教版.doc

第六讲 角平分线的性质

教学目标：

1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线

2.能利用角平分线的性质解决简单问题

3.角平分线的性质及判定定理的运用

重点难点：

1.角平分线的性质的运用与逆用。

2.利用角平分线构造全等三角形。

3.继续学习证明及综合法证明的格式。

知识导航：

1.角平分线的画法

35

A

M C

O N B
（1）已知∠AOB，求作∠AOB 的角平分线：

①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。

②分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交

于点 C。

③过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角平分线。

2．角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。

3．三角形的角平分线的性质

（1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。

（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。

（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。

考点/易错点 1

角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；

3． OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。

典型例题：

【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的 倍．（要求：写出已知、求作，保留作图
痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)
已知： 求作：

【答案】已知： ÐAOB ．求作： ÐAOC ，使 ÐAOC = ÐAOB ．作图如右上所示：
【解析】首先画出∠AOB 的角平分线，再以 OB 为边，画∠BOC=∠BOF．

【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE
⊥AB 于 E，若 AC=3cm，则 AD+DE 为（ ）

A． 3cm B． 4cm

C． 2cm D． 无法确定

【答案】A．

【解析】∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∴AD+DE=AD+DC=AC，∵AC=3cm，∴AD+DE=3cm．

【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中，AD∥BC，若∠DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，且 BE 恰好平 分∠ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（ ）
A． AB＞AD+BC B． AB＜AD+BC C． AB=AD+BC D． 无法确定

【答案】C．
【解析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF，易证 AE⊥BE，△ ADE≌△AFE（SAS），所以∠1=∠2，又
∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，所以∠3=∠4，所以可证△ BCE≌△BFE，
所以 BC=BF，所以 AB=AF+BF=AD+BC；

解法 2：如图，延长 AE 交 BC 延长线于 F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD=180°，∵BE 平分∠CBA，AE 平分
∠BAD，∴∠EBA+∠BAE=90°，∴∠BEA=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AF，由△ ABE≌△FBE（ASA），可得 BA=BF，
AE=FE，于是可证△ ADE≌△FCE（ASA），所以 AD=CF，所以 AB=BC+CF=BC+AD．

【例 4】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=14，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，AD=10，则点 D 到 AB 的距离 为（ ）

A．10 B．4 C．7 D．6

【答案】B．

【解析】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵AC=14，AD=10，∴CD=AC﹣AD=14﹣10=4，

∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=CD=4．

【例 5】如图，在△ABC 中，AC=CB，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠E=90°，那么 AD 与 BE 的长度 关系为 。

【答案】AD=2BE

【解析】理由是：延长 AC，BE 交于 O，∵∠C=∠AEB=90°，∠CDA=∠EDB，∴由三角形内角和定理得：

∠1=∠3，∵∠ACD=∠BCO=90°，

ìÐ1 = Ð3
í
在△ACD 和△BCO 中， ï AC = BC
î
ïÐACD = ÐBCO

，∴△ACD≌△BCO（ASA），∴AD=BO，

∵AD 平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AEB=∠AEO=90°，

ìÐ1 = Ð2
í
在△AEO 和△AEB 中， ï AE = AE
î
ïÐAEO = ÐAEB

，∴△AEO≌△AEB（ASA），∴OE=BE，∴BO=2BE，

∴AD=2BE，

【例 6】为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂 石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A． 仅有一处 B． 有四处

C． 有七处 D． 有无数处

【答案】 A．

【解析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．满足条件的点有一 个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．

课堂检测：

1. 下列结论错误的是（ ）
A．到已知角两边距离相等的点在同一直线上
B．一射线上有一点到已知角两边的距离相等这条射线平分已知角
C．到角两边距离相等的一个点与这个角的顶点的连线不平分这个角
D．角内有两点各自到角的两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角
2.如图，∠AOB 和一条定长线段 a，在∠AOB 内找一点 P，使 P 到 OA，OB 的距离都等于 a，作法如下：

（1）作 OB 的垂线段 NH，使 NH=a，H 为垂足．

（2）过 N 作 NM∥OB．

（3）作∠AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P．

（4）点 P 即为所求． 其中（3）的依据是（ ）
A． 平行线之间的距离处处相等

B． 到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D． 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
3.如图，△ ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将
△ ABC 分为三个三角形，则 S△ ABO：S△ BCO：S△ CAO 等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3

C．2：3：4 D．3：4：5
4. 如图，AD、AE 分别是△ABC 中∠A 内角的平分线和外角平分线，则∠DAE= 度．
5.已知线段 a 和直角∠α：
（1）用尺规作△ ABC，使得∠C=∠α，BC=a，AB=2a（保留作图痕迹，不写画法）；
（2）用尺规作△ ABC 的中线 CD 和角平分线 CE（保留作图痕迹，不写画法）；

课后作业：

1.如图，已知点 P 到 AE、AD、BC 的距离相等，下列说法：①点 P 在∠BAC 的平分 线上；②点 P 在∠CBE 的平分线上；③点 P 在∠BCD 的平分线上；④点 P 在∠BAC，
∠CBE，∠BCD 的平分线的交点上．其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③

2.两条平行线 a、b 被第三条直线 c 所截得的同旁内角的平分线的交点到直线 c 的距离是 2cm，则 a、b 之间 的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3.如图，AD 是△ ABC 的角平分线，若 AB=10，AC=8，则 S△ ABD：S△ ADC=（ ）
A．1：1 B．4：5
C．5：4 D．16：25
4.已知 AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC 于点 E，∠DAC=35°，AD=AE，∠B 为（）

A．50° B．60°

C．70° D．80°

5．如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E．请先作出∠ABC 的平分线 BF，交 AC 于点 F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当： AD∥BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG 时，DE=BF．

6.如图①，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考 这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE
相交于点 F．请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论
是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

7.如图，△ ABC 中，D 为 BC 的中点，DE⊥BC 交∠BAC 的平分线 AE 于点 E，EF⊥AB 于 F，EG⊥AG 交 AC
的延长线于 G．求证：BF=CG．

8.如图，在△ ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于点 E，点 D 是 AB 上一点，且 AD=AC，作 DG∥BC，DG 交
AC 于点 G，交 CE 于点 F，求证：（1）AF 平分∠CAB；（2）FC=FD．