2022届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(五十二)直线与椭圆的综合问题(提升课)-Word版含解析(.doc

word精品，双击可进行修改
课时跟踪练(五十二)
A组　基础巩固
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．
答案：A
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝ ＝，
故选C.
答案：C
3．(2019·吕梁模拟)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得(＋)·＝0(O为坐标原点，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：因为(＋)·＝(＋)·＝·＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，所以S△F1PF2＝mn＝1.故选D.
答案：D
4．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为 >，所以a2＋b2<3.又a，b不同时为零，所以0<a2＋b2<3.由0<a2＋b2<3，可知|a|<，|b|<，由椭圆的方程和其长半轴长为2，短半轴长为，所以P(a，b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点有2个．故选C.
答案：C
5．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B. C. D.
解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5，|AB|＝＝ ≤(当且仅当t＝0时取等号)．故选C.
答案：C
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．
解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7．(2019·赣南五校联考)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆E的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：由已知得直线y＝(x＋c)过M、F1两点，所以直线MF1的斜率为，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝c，由点M在椭圆E上知，c＋c＝2a，故e＝＝－1.

答案：－1
8．已知直线l过点P(2，1)且与椭圆＋＝1交于A，B两点，当P为AB中点时，直线AB的方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B两点在椭圆上，所以＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得，
＋＝0，又AB的中点为P(2，1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，即＋＝0，所以kAB＝＝－，故AB的方程为y－1＝－(x－2)，即8x＋9y－25＝0.
答案：8x＋9y－25＝0
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点为F(－2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解：(1)由题意，得
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，所以－2<m<2，
因为x0＝＝－，所以y0＝x0＋m＝，
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
所以＋＝1，所以m＝±.
10.(2019·衡阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离为.

(1)求椭圆C的方程；
(2)分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．
解：(1)易知椭圆过点，所以＋＝1，①
又＝，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l1的方程为x＝my－1，它与C的另一个交点为D.
将直线l1与椭圆C的方程联立，消去x，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝144(m2＋1)>0.
|AD|＝·，
又F2到l1的距离d＝，
所以S△ADF2＝.
令t＝，t≥1，则S△ADF2＝，
当t＝1时，S△ADF2取得最大值，为3.
又S四边形ABF2F1＝(|BF2|＋|AF1|)·d＝(|AF1|＋|DF1|)·d＝|AD|·d＝SADF2，
所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.
B组　素养提升
11．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan ∠PF1F2＝2，

所以＝2，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝，|PF2|＝.
根据勾股定理得＋＝(2c)2，
所以离心率e＝＝.
答案：A
12．过椭圆＋＝1内的一点P(2，－1)的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)
A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0
C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝0
解析：设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
故×＋×＝0，
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，故斜率k＝.
故这条弦所在直线方程为y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0.
答案：A
13．已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是________．
解析：依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.
又因为d＝，所以≤，解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0<e2≤，解得0<e≤.
答案：
14．(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.又|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，
由题意知，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，
从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.
易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组消去y，可得x2＝.
由方程组消去y，
可得x1＝.
由x2＝5x1，可得 ＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－.
当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；
当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．
所以k的值为－.