一阶常微分方程的解法.doc

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法
摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。
关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法
Solution of first-order differential equation
Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.
Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method

1. 引言
一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.
2. 一般变量分离
2.1 变量可分离方程
形如
（1.1）
或 （1.2）
的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程[1].
(1) 显式变量可分离方程的解法
在方程（1.1）中，
若，（1.1）变形为

积分得
　 　　 　　（1.3）
此为（1.1）的解．
若，使，则也是（1.1）的解．
注：当不包含于（1.3）时要特别补上解．
例1：求解方程．
解:当时，方程的通积分为 ，即

即 .
另外，方程还有解，不包含在通解中.
(2) 微分形式变量可分离方程的解法
方程
（1.2）
是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，和在方程中的地位是“平等”的，即和都可以被认为是自变量或函数[1].
在求常数解时，若，则为方程（1.2）的解.同样，若，则也是方程（1.2）的解.
当时,用它除方程(1.2)两端,分离变量,得

上式两端同时积分,得到方程(1.2)的通积分

例2:求解方程

解:首先,易见为方程的解.其次,当时,分离变量得

积分，得方程的通积分
（C≠0）
或 （C≠0）

以上内容归纳了变量可分离方程的解法,.有些方程虽然不是变量可分离方程,但是经过变量变换之后,就能化成变量可分离方程,接下来归纳了两类可化为变量可分离的方程及其解法.
2.2可化为变量可分离方程
(1) 第一类可化为变量可分离的方程:齐次微分方程
如果一阶显式方程
（1.4）
的右端函数可以改写为的函数，那么称方程（1.4）为一阶齐次微分方程,也可以写为
(1.5)
作变量变换
(1.6)
于是，从而
(1.7)
把（1.6），（1.7）代入（1.5）得

即 (1.8)
方程（1.8）是一个变量可分离方程,当时,分离变量并积分,得到它的通积分
(1.9)
或

即

其中.
以代入,得到原方程(1.5)的通积分

若存在常数,使，则是(1.8)的解, 由,得是原方程（1.5）的解[1]．
例3：解方程
解：将方程化为 ,令，代入上式得,即 易于看出,为这个方程的一个解,从而为原方程的一个解.
当时,分离变量得两端积分后得

或
将换成,并解出,便得到原方程的通解.
(2)第二类可化为变量可分离的方程
形如
（2.1）
的方程是第二类可化为变量可分离的方程[1].
其中均为常数.分如下情况：

.
即
用变量代换即可化为可分离变量的微分方程．

令
则

是可分离变量的微分方程．

若不全为零，则

代表平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点,设为
令，则上述方程变为

则（1.7）变为为可分离变量的微分方程．
注：若，则为的情形．
例4：求方程.
解：令,则，代入得到，有 ，所以
，
把u代入得到 。
例5：求方程.
解：由,得,令,有，代入得到
，
令， 有，代入得到， 化简得到，，
有， 所以有
故代入得到
3 常数变易法
一阶线性微分方程的一般形式
（2.2）
其中在考虑的区间上是的连续函数.
当时,即
（2.3）
称为一阶线性齐次微分方程，
当，称为一阶线性非齐次微分方程.
3.1齐次方程通解的解法：一般变量分离
对分离变量，得

两边同时积分，得

即
则
3.2 非齐次方程通解的解法：常数变易法
不难看出,（2.3）是（2.2）的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数变易为的待定函数,使它满足方程,从而求出为此，令
（2.4）
为方程（2.2）的解，其中待定，将（2.4）代入（2.2），
得
即
从而
故，方程（2.2）的通解为

注：一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和[4]。
例6：求解方 （2.5）
解：方程（2.5）所对应的齐次方程为
（2.6）
其通解为
,
由常数变易法，令为方程（2.5）的通解，并代入（2.5）

即， ，则方程（2.5）的通解为
.
4．恰当微分方程
若一阶微分方程
（2.7）
的左端恰好是某个二元函数的全微分，即

则（2.7）为恰当微分方程，其中，为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数[1]．
那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法．　　　　
若（2.7）为恰当微分方程，则
　 （2.8）
　　 （2.9）
对（2.8），（2.9）分别求关于，的偏导数，有　，，　由，的连续性，可知故，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件．
下面来讨论(2.7)的通解形式
由(2.8)知

是的可微函数，下面来求,使也满足 (2.9)

由此知

下证与无关即可．
所以左边与无关．
积分得

所以

从而，原方程的通解为

为任意常数．
例7:
解：由题意得到，,由得到，原方程是一个恰当方程；
下面求一个，由，得
，两边对y求偏导得到，
得到，有，故，由，得到
.
5．积分因子
恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．
如果存在连续可微函数，使得

为一恰当微分方程，即存在函数，使
，
则称为方程的积分因子； 积分因子不唯一[2].
函数为积分因子的充要条件是

即 ．
假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条件是，即仅是关于的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为．同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程(1.1)的一个积分因子为[3].
例8：求解方程
解：这里方程不是恰当的。因为只与有关，故方程有只与的积分因子

以乘方程两边，得到

或者写成

因而通解为

6. 小结：
一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果。对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验, ,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型.

参考文献：
[1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.4（2012.12重印）
[2] 上海交通大学&集美大学. 高等数学[M].北京：科学出版社 2011-264-305
[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）[M].北京:高等教育出版社，.
[4] 杨继明,常系数线性微分方程组的解法[J];宝鸡文理学院学报（自然科学版），2001.
[5] 伍卓群，李勇编，常微分方程（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2004
[6] 杨继明,蔡炯辉;常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），2001年01期