东南大学-高数(上)-03至10年-期末试卷(附答案).doc

东南大学-高数(上)-03至10年-期末试卷(附答案)

03～10级高等数学（A）（上册）期末试卷

2003级高等数学（A）（上）期末试卷
一、单项选择题（每小题4分，共16分）

1．设函数由方程确定，则（ ）

2．曲线的渐近线的条数为（ ）

3．设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，
则导函数的图形为（ ）

4．微分方程的特解形式为（ ）

二、填空题（每小题3分，共18分）
1．
2．若，其中可导，则
3．设若导函数在处连续，则的取值范围是。
4．若，则的单增区间为,单减区间为.
5．曲线的拐点是
6．微分方程的通解为
三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1． 计算积分 2．计算积分

3. 计算积分 4. 计算积分

5. 设连续，在处可导，且，求

6. 求微分方程的通解

四. （8分）求微分方程满足条件的特解

五. （8分）设平面图形D由与所确定，试求D绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。

六. （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:与轴所围成，试求其质量

七. （7分）设函数在上有连续的二阶导数，且，证明：至少存在一点，使得

2004级高等数学（A）（上）期末试卷
一. 填空题（每小题4分，共20分）
1．函数的间断点 是第 类间断点.
2. 已知是的一个原函数,且,则 .
3. .
4. 设,则 .
5. 设函数,则当 时,取得最大值.
二. 单项选择题(每小题4分,共16分)
1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]
(A) (B) (C) (D)
2. 曲线的渐近线共有 [ ]
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
3. 微分方程的一个特解形式为 [ ]
(A) (B) (C) (D)
4. 下列结论正确的是 [ ]
(A) 若,则必有.
(B) 若在区间上可积,则在区间上可积.
(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.
(D) 若在区间上可积,则在内必有原函数.
三. (每小题7分,共35分)
1.

2. 设函数是由方程所确定的隐函数,求曲线在点处的切线方程.

3. 4.

5. 求初值问题 的解.

四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小.

五. (7分) 设 ,求证 .

六.(7分) 设当时,可微函数满足条件

且,试证: 当时,有 成立.

七.(7分) 设在区间上连续,且,
证明在区间内至少存在互异的两点,使.

2005级高等数学（A）（上）期末试卷
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． ；
2．曲线的斜渐近线方程是 ；
3．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
4．设在区间上连续，且，则 ；
5．设，则 ；
6． ；
7．曲线相应于的一段弧长可用积分 表示；
8．已知与分别是微分方程的两个特解，则常数
，常数 ；
9．是曲线以点为拐点的 条件。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1．设，求

2． 3．

4．

三． （本题满分9分）设有抛物线，试确定常数、的值，使得（1）与直线相切；（2）与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大。

四．（本题共2小题，满分14分）
1．（本题满分6分）求微分方程的通解。

2． （本题满分8分）求微分方程满足初始条件的特解。

五．（本题满分7分）
试证：（1）设，方程在时存在唯一的实根；
（2） 当时，是无穷小量，且是与等价的无穷小量。

六．（本题满分6分）证明不等式：，
其中是大于的正整数。

2006级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． ；
2．曲线在对应的点处的切线方程为 ；
3．函数在区间 内严格单调递减；
4．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
5． ；
6．设连续，且，已知,则 ；
7．已知在任意点处的增量，当时，是的
高阶无穷小，已知，则；
8．曲线的斜渐近线方程是 ；
9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解，则该方程为
.
二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1．计算不定积分 2．计算定积分

3．计算反常积分 4．设 ，求

三． （本题满分7分）求曲线自到一段弧的长度。 （第3页）

四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）
1．求微分方程的通解。

2． 求微分方程的特解，使得该特解在原点处与直线相切。

五． （本题满分7分）设，求积分的最大值。

六． （本题满分6分）设函数在上存在二阶连续导数，且，证明：至少存在一点，使得 。

2007级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． ；
2．设，则 ；
3．已知，则 ；
4．对数螺线在对应的点处的切线方程是 ；
5．设是由方程确定的隐函数，则的单调增加区间是，单调减少区间是 ；
6．曲线的拐点坐标是，渐进线方程是 ；
7．；
8． ；
9．二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式为
.
二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）
10. 11．

12。

三（13）．（本题满分8分）设，.
（1） 问是否为在内的一个原函数？为什么？（2）求.

四（14）．（本题满分7分）设，求.

五（15）．（本题满分6分）求微分方程的通解.

六（16）．（本题满分8分）设、满足，且，求.

七（17）．（本题满分8分） 设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的图形面积为.（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

八（18）．（本题满分6分）设，求证：当时，.

2008级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1．函数的单调增加区间为 ；
2．已知，则 ；
3．曲线的拐点是 ；
4．曲线的斜渐近线的方程是 ；
5．二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是 ；
6．设是常数，若对，有，则 ；
7． ；

8．设是连续函数，且，则 ；
9．设，则 .

二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
10． 11.

12． 已知的一个原函数为，求

13．设，求常数、、，使得
。

14。

三（15）．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，
的特解.

四（16）．（本题满分7分）设函数在区间上连续，且恒取正值，若对，在上的积分（平）均值等于与的几何平均值，试求的表达式.

五（17）．（本题满分7分） 在平面上将连接原点和点的线段（即区间）作等分，分点记作，，过作抛物线的切线，切点为，（1）设三角形的面积为，求；（2）求极限.

六（18）．（本题满分6分）试比较与的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）

七（19）．（本题满分6分）设在区间上连续可导，，求证： .

2009级高等数学（A）（上）期末试卷
1．函数的定义域是 ，值域是 ；
2．设，当 时，在处连续；
3．曲线的斜渐进线的方程是 ；
4． ；
5．函数的极大值点是 ；
6． ；
7．设是由所确定的函数，则 ；
8．曲线族（,为任意常数）所满足的微分方程是 ；
9． .
二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
10． 11.

12． 13．

14。设，，计算.

三（15）．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，
的特解.

四（16）．（本题满分8分）设函数在区间上可导，在内恒取正值，且满足，又由曲线与直线所围成的图形的面积为

，求函数的表达式，并计算图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

五（17）．（本题满分6分） 已知方程在区间内存在两个互异的实根，试确定常数的取值范围.

六（18）．（本题满分6分）设在区间上非负、连续，且满足,
证明：对，有.

七（19）．（本题满分6分）设，在处可导，且，
（1）求证：，使得

（2）求极限.

2010级高等数学（A）（上）期末试卷
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分3 6分）
1． ；
2．曲线在点处的切线方程是 ；
3．曲线的渐近线方程是 ；
4．若曲线有拐点，则 ；
5．函数在处的阶导数 ；
6．设可导函数由方程确定，则 ；
7． ；
8． ；
9．微分方程满足条件的特解是 .
二.(本题共4小题，每小题7分,满分28分)
10．求极限 . 11．求反常积分.

12． 求定积分. 13．求不定积分 .

三(14)．（本题满分7分）设，分别求与时积分的表达式.

四（15）．（本题满分8分）求由所围图形的面积及此图形绕轴旋转的旋转体的体积.

五（16）．（本题满分7分）求微分方程满足初值条件，的特解.

六（17）．（本题满分8分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，且，已知，求函数.

七（18）．（本题满分6分）设，分别是在上的最大值和最小值，证明：至少存在一点，使得：.

答案：
特别说明：以下内容仅供参考，其实解答题和证明题中，解法很多，并且有些解法比下面提供的参考答案更简洁。在一些参考答案后，我写了些说明，有些没写。还是希望同学们自己多动脑筋，多思考，多多地动手、动笔去推导去计算。在复习阶段，相互间多讨论，多交流交流。别的同学有疑问向你求解释时，请耐心的解答（大学时光很宝贵，大学同学间的友情也弥足珍贵。每一个人都有困难的时候，说不定什么时候，就换作你自己要寻求别人的帮助。这是我作为过来人的体会）。当然，问题确实很繁琐时，可以建议他直接找我讨论。谢谢大家。祝大家复习愉快，考试取得各自理想的成绩，回家开开心心过大年。

2003级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一、单项选择题（每小题4分，共16分）
1． C ２．Ｂ 3． D 4．C
二、（每小题3分，共18分） 1．； 2． ； 3． ； 4． ，； 5． ； 6．
三、（每小题6分，共36分）

1． ； 2. ；
3. ； 4． ； 5．； 6．解为。
四、所求特解. 五、. 六、.
七、 由(在0与之间)知；又因，所以在上存在最大值和最小值，于是,所以，由推广的积分中值定理知，使得，即．
Note：还有别的解法。如“变动的观点”，构造函数，原问题等价于证：，使.
2004级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. （每小题4分，共20分） 1．0,　一；2． ； 3． ； 4． 1； 5． 。
二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 　1． A; ２．Ｂ 3． D; 4．C.
三. (每小题7分,共35分)
1. 2.(略) 3. 4. 　　5.　
四.(8分) 是旋转体的体积最小的点.
五.(7分) 提示：设,原不等式等价于,
即等价于　。（用函数单调性证明）
Note：还有别的构造函数的方法，也有其它解法
六.(7分) 提示：把所给方程转化为微分方程，求解得；　
再用函数的单调性和定积分的性质即可。
七.(7分) 提示：记，再用Rolle定理。 Note：也有其它解法

2005级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．非充分非必要。
二． 1． 2． 3． 4．
三． ，。 四．1．； 2．
五．（1）提示：设，用零点定理及函数的单调性；（2）提示：用夹逼定理。
六．设为正整数，，三边积分得，左边关于相加得：
，右边关于相加得：
，所以

Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证

2006级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. 1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．。
二. 1. 2. 3. 4.
三． 四．1. 2.
五．
六．证：，，，由于在上连续，在上存在最大值和最小值，故，从而
,
即，由介值定理知至少存在一点，使得
Note：还有别的解法。参见03年的第七题。

2007级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. 1．； 2．； 3． ； 4． ；
5． ， ； 6． ， ； 7．； 8． ； 9.
二. 10. ； 11．； 12。
三 (1) 不是在内的一个原函数，因为，
在内不连续. (2)
四． 五．
六．由已知条件知，解出，
从而可求出.
Note：求积分时，可采取保持一个不动（比如不动），然后让另一个等价变形（朝着保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。
七．(1)
是最小值. (2)
八．提示：令，则

2008级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. 1． ； 2．； 3．； 4．； 5．；6．； 7. ； 8． ； 9.
二. 10.； 11. 12.
13. , , 14.
三．
四．由题意得，，，
记，则两端对求导知，解得。
五.(1) 设，则由题意得
(2)
六. 设 （或）， 由函数单调性可得 Note：也有别的解法，而且解法很多
七．法1：

法2:
对，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。
对，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。
法3:（函数的观点，将是某个函数在一些定点处的取值,比如令，将分别在和处一阶Taylor展开（带Lagrange余项，即,介于和间），然后在所得两式中都取，再做相应的运算。
Note：构造函数的方法也不是唯一的。

2009级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. 1．，； 2． 3． 4． ； 5． ；
6． ； 7． ； 8． ； 9． .
二. 10．； 11. ； 12. ； 13. ； 14.
三．四．，
五．设, 则，
，故常数的取值范围是：。
六．令,则,不等式两边对积分,得,即
七．(1) 记，用中值定理
(2) 由(1)得，
因此
. 由于，所以。

2010级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一。填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
1．；2．；3．；4．；5． ；6．；7．；
8．；9．.
二．(本题共4小题，每小题7分,满分28分)
10．解 .
11．解.
12．解 .
13．解
（或）.
三(14)．（本题满分7分） 解，
当时，因，故，于是
原式.
当时，
原式
所以，
四（15）．（本题满分8分） 解 ，

五（16）．（本题满分7分）解，由，，得，，.
六（17）．（本题满分8分）解 ，， ，解得，由，得
，于是，，由，得，于是.
七（18）．（本题满分6分）证 设，则，于是，因此至少存在一点，使得，此即.

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