2022年华二冬令营数学试卷答案.docx

冲刺 17 年自主招生之2022 年华二冬令营数学试卷y12-2-1012x1、“帽子函数的图像如下列图：(1)求此函数的解析式； (2)假设有抛物线 y=-x2+a(a3), 求它与“帽子函数图像的交点个数；4(3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数图像有且只有 2 个交点，横坐标分别5 7为，2 2x, k x k +1【解析】：y=21-x+k+1,k+x k +12 a0时，无交点a=0时，一个交点0 a 3 时，两个交点4考虑到 a =3 时，抛物线 y =-x2 +3 与帽子函数交于-1 , 1 、1 , 1 两点，442 2 2 2 所以可以将 y =-x2 +3 向右平移 3 个单位，即满足条件4该抛物线解析式为y=-(x-3)2+342、在一个 88 的正方形方格纸中，一个角剪去一个 22 的小正方形，问其余局部可否剪成 15 块“L型(如图)纸片，假设能剪，给出剪切方法，假设不能剪，请说明理由。【解析】一道根底的染色问题如图进行黑白相间染色，那么 L 型放入方格纸中，必定可以盖住 1 个黑格子和 3 个白格子，或者 3 个黑格子和 1 个白格子。L 形格子盖住的黑格子数都是奇数个，所以 15 个 L 形盖住的黑格子也还是奇数个，而方格纸中有偶数个黑格子，矛盾。所以不能。3、n 为正整数，S = 1+ 2 + 3 +n, S为一个由同一个数字组成的三位数，求n的值.【解析】设该三位数为 aaa ，那么 S =n (n +1)= 111a 2变形为 n (n + 1)= 2 3 37 a ，考虑到 a 为整数，且1 a 9 只能 a = 6 ， n = 36 4、寒山寺每隔9秒敲一次钟，第一次敲钟时，甲、乙两船分别向上、下游驶去，速度分别为3m/s,9m/s，当甲船听到第 108 声时，乙船只能听见第_声.(V声=300m/s)【解析】设第一次敲钟时的时刻为 0 秒，那么甲听到第 108 声的时刻为 107 9 +107 9 3 =972 8 秒300-311(k-1)99900k900设乙只能听到第k声，那么乙听到第k声的时刻为(k-1)9+=-300-99797那么有 900k -900 972 8 ，解得 k 105.8979711所以乙只能听到第 105 声5、对于满足(x-3)2+(y-3)2 =6的所有实数对(x,y),x这个最大值为.【解析】设 x =k ，那么 x =ky y代入原式，得(ky-3)2+(y-3)2=6化为(k2+1)y2-(6k+6)y+12=0要使y有实数解，那么D=(6k+6)2-48(k2+1)0使最大y2解得3-2k 3 + 222所以最大值为3 + 2注：本试卷为冬令营考卷，主要目的为筛选竞赛考生，所以难度较高，2,8,9,10 等题均需要一定的竞赛背景，难度超出一般自招难度，不必过于较真6、方程 x - 2 -1 =a 有三个整数解，求a 的值.【解析】 f (x)=x - 2 -1 的图像如下列图，只有 y = 1 与 f (x)有三个整数解，所以 a =1当然也可以用分类讨论的方法做7、假设方程 x2 + 2(a +1)x + 2a +1 = 0 有一个小于 1 的正数根,那么实数a 的取值范围.【解析】对原式进行十字相乘可得(x + 1)(x + 2a + 1)= 0所以 x =-1或 -2a -1 方程有一个小于 1 的正数根 0 -2a -1 1 ，解得 -1 a -1 28、方程x2+y2+z2+w2 =u2共有_组整数解.【解析】无数组整数解，取(x, y, z, w, u )= (0, 0, 0, k, k) ，其中k 为任意整数69、正方形ABCD中有一点E，使E到A、B、C的距离之和最小为 2+求此正方形的边长.【解析】费马点问题：是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。简证：将 DABP 绕点 A 旋转 60至 DAB P ，那么 DAPP 为正三角形距离之和 PA +PB +PC =PP +P B +PC B C ，当 B , P , P,C 四点共线时“=成立，此时APB =BPC =CPA =120所以费马点该点所对三角形三边的张角相等，均为120CAPPBHa3aE2aBC BA3对于此题，点 E 应满足 AEB =BEC =CEA = 1202设 EH =a ，那么 AE = 2a ， AH =BH =3a ，BE =(- 1)a 3EA +EB +EC = 2a +(-1)a+2a=(3+3)a=+解得 a =6 ，边长 AB =636a = 2 10、9 名同学分别投票给“杨坤组与“那英组，最终“杨坤组5 票，“那英组4票，问“杨坤组的票数始终压过“那英组的概率为_.C44【解析】满足条件的情况数为8= 14 ，总情况数为C = 12659所以概率 P=14=1 1269C n卡塔兰数公式：2n比较复杂，自行百度n + 1