2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(辽宁卷详解).docx

2022辽宁卷(理科数学)12022辽宁卷 全集UR，Ax|x0，Bx|x1，那么集合U(AB)()Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0xbcBacbCcabDcba3C解析因为0a21，blog2log1，所以cab.42022辽宁卷 m，n表示两条不同直线，表示平面以下说法正确的选项是()A假设m，n，那么mnB假设m，n，那么mnC假设m，mn，那么nD假设m，mn，那么n4B解析B解析 由题可知，假设m，n，那么m与n平行、相交或异面，所以A错误；假设m，n，那么mn，故B正确；假设m，mn，那么n或n，故C错误假设m，mn，那么n或n或n与a相交，故D错误5、2022辽宁卷 设a，b，c是非零向量，命题p：假设ab0，bc0，那么ac0，命题q：假设ab，bc，那么ac，那么以下命题中真命题是()ApqBpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)5A解析由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b0时，a，c一定共线，故命题q是真命题故pq为真命题62022辽宁卷 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144B120 C72D246D解析这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC24.7、2022辽宁卷 某几何体三视图如图11所示，那么该几何体的体积为()A82B8C8D8图117B解析根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一局部后余下的局部，故该几何体体积为222228.82022辽宁卷 设等差数列an的公差为d.假设数列2a1an为递减数列，那么()Ad0 Ca1d08C解析 令bn2a1an，因为数列2a1an为递减数列，所以2a1(an1an)2a1d1，所得a1d0.92022辽宁卷 将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增9B解析 由题可知，将函数y3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y3sin的图像，令2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，函数单调递增，即函数y3sin的单调递增区间为，kZ，可知当k0时，函数在区间上单调递增102022辽宁卷 点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，那么直线BF的斜率为()A.B.C.D.10D解析 因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2，3)在准线上，所以p4.设直线AB的方程为x2m(y3)，与抛物线方程y28x联立得到y28my24m160，由题易知0，解得m(舍)或者m2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF.112022辽宁卷 当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，那么实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，311C解析当2x0时，不等式转化为a，令f(x)(2x0)，那么f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有a2.当x0时，g(x)恒成立当0x1时，a，令个g(x)(0x1)，那么g(x)，故g(x)在(0，1上单调递增，此时有a6.综上，6a2.12、2022辽宁卷 定义在0，1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0，1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.假设对所有x，y0，1，|f(x)f(y)|k恒成立，那么k的最小值为()A.B.C.D.12B解析不妨设0yx1.当xy时，|f(x)f(y)|时，|f(x)f(y)|f(x)f(1)(f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|x1|y0|(xy).故kmin.132022辽宁卷 执行如图12所示的程序框图，假设输入x9，那么输出y_图1213.解析当x9时，y5，那么|yx|4；当x5时，y，那么|yx|；当x时，y，那么|yx|0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_162解析由题知2c(2ab)23(4a23b2)(4a23b2)(2ab)24a23b2(2ab)2，即2c(2ab)2，当且仅当，即2a3b6(同号)时，|2ab|取得最大值，此时c402.22，当且仅当a，b，c时，取最小值2.17、2022辽宁卷 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.2，cosB，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由2得cacosB2，又cosB，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accosB，又b3，所以a2c292213.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sinB.由正弦定理，得sinCsinB.因为abc，所以C为锐角，因此cosC.所以cos(BC)cosBcosCsinBsinC.18、2022辽宁卷 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图14所示图14将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)18解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个，A2表示事件“日销售量低于50个，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.19、2022辽宁卷 如图15所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值图1519解：(1)证明：方法一，过点E作EOBC，垂足为O，连接OF.由ABCDBC可证出EOCFOC，所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，EOFOO，所以BC平面EFO.又EF平面EFO，所以EFBC.图1方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如下列图的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，1，)，D(，1，0)，C(0，2，0)，因而E(0，)，F(，0)，所以(，0，)，(0，2，0)，因此0，从而，所以EFBC.图2(2)方法一，在图1中，过点O作OGBF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC平面BDC，所以EO面BDC，又OGBF，所以由三垂线定理知EGBF，因此EGO为二面角EBFC的平面角在EOC中，EOECBCcos30.由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2，从而得sinEGO，即二面角EBFC的正弦值为.方法二，在图2中，平面BFC的一个法向量为n1(0，0，1)设平面BEF的法向量n2(x，y，z)，又(，0)，(0，)，所以得其中一个n2(1，1)设二面角EBFC的大小为，且由题知为锐角，那么cos|cosn1，n2|，因此sin，即所求二面角正弦值为.20、2022辽宁卷 圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.图16(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点假设以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，那么切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设直线l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22 m4110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.21、2022辽宁卷函数f(x)(cosxx)(2x)(sinx1)，g(x)3(x)cosx4(1sinx)ln.证明：(1)存在唯一x0，使f(x0)0；(2)存在唯一x1，使g(x1)0，且对(1)中的x0，有x0x1.21证明：(1)当x时，f(x)(1sinx)(2x)2xcosx0，f20，当t时，u(t)0，所以u(t)在(0，x0上无零点在上u(t)为减函数，由u(x0)0，u4ln20，故g(x)(1sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1，使g(x1)0.因为x1t1，t1x0，所以x0x1.222022辽宁卷 选修41：几何证明选讲如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)假设ACBD，求证：ABED.图1722证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又因为PGDEGA，所以DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.又AFEP，所以PFA90，所以BDA90，故AB为圆的直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而得RtBDARtACB，于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因为ABEP，所以DCEP，DCE为直角，所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以EDAB.232022辽宁卷 选修44：坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程23解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，那么线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos4sin3，即.242022辽宁卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.24解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集M.(2)由g(x)16x28x14得164，解得x，因此N，故MN.当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x).