2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(辽宁卷详解).docx

2022辽宁卷(文科数学)12022辽宁卷 全集UR，Ax|x0，Bx|x1，那么集合U(AB)()Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x11D解析由题意可知，ABx|x0或x1，所以U(AB)x|0x122022辽宁卷 设复数z满足(z2i)(2i)5，那么z()A23iB23iC32iD32i2A解析由(z2i)(2i)5，得z2i2i，故z23i.3、2022辽宁卷 a2，blog2，clog，那么()AabcBacbCcbaDcab3D解析因为0a21，blog2log1，所以cab.42022辽宁卷 m，n表示两条不同直线，表示平面以下说法正确的选项是()A假设m，n，那么mnB假设m，n，那么mnC假设m，mn，那么nD假设m，mn，那么n4B解析由题可知，假设m，n，那么m与n平行、相交或异面，所以A错误；假设m，n，那么mn，故B正确；假设m，mn，那么n或n，故C错误；假设m，mn，那么n或n或n与相交，故D错误5、2022辽宁卷 设a，b，c是非零向量，命题p：假设ab0，bc0，那么ac0；命题q：假设ab，bc，那么ac.那么以下命题中真命题是()ApqBpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)5A解析由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b0时，a，c一定共线，故命题q是真命题故pq为真命题图1162022辽宁卷假设将一个质点随机投入如图11所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，那么质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.6B解析由题意AB2，BC1，可知长方形ABCD的面积S212，以AB为直径的半圆的面积S112.故质点落在以AB为直径的半圆内的概率P.7、2022辽宁卷 某几何体三视图如图12所示，那么该几何体的体积为()图12A8B8C8D827C解析根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的局部，故该几何体体积V231228.82022辽宁卷 点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，那么直线AF的斜率为()AB1CD8C解析因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2，3)在准线上，故2，解得p4，所以y28x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF.92022辽宁卷 设等差数列an的公差为d，假设数列2a1an为递减数列，那么()Ad0Bd0Ca1d0Da1d09D解析令bn2a1an，因为数列2a1an为递减数列，所以2a1(an1an)2a1d1，所以a1d0.102022辽宁卷 f(x)为偶函数，当x0时，f(x)那么不等式f(x1)的解集为()A.B.C.D.10A解析由题可知，当x时，函数f(x)单调递减，由cosx，得x；当x时，函数f(x)单调递增，由2x1，得x.故当x0时，由f(x)，得x.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)的解解集为，所以不等式f(x1)的解满足x1或x1，解得x.112022辽宁卷 将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增11B解析将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，得到y3sin的图像，函数单调递增，那么2k2x2k，kZ，即kxk，kZ，即函数y3sin的单调递增区间为，kZ，当k0时，可知函数在区间上单调递增12、2022辽宁卷 当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，那么实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，312C解析当2x0时，不等式可转化为a，令f(x)(2x0)，那么f(x)，故函数f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有afmin(x)f(1)2.当x0时，不等式恒成立当0x1时，a，令g(x)(0x1)，那么g(x)，故函数g(x)在(0，1上单调递增，此时有agmax(x)g(1)6.综上，6a2.132022辽宁卷 执行如图13所示的程序框图，假设输入n3，那么输出T_1320图13解析由题意可知，第一步，i1，S1，T1；第二步，i2，S3，T4；第三步，i3，S6，T10；第四步，i4，S10，T20.142022辽宁卷 x，y满足约束条件那么目标函数z3x4y的最大值为_1418解析不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示，由z3x4y得yx，当直线经过点C时，z取得最大值由得故C点坐标为(2，3)，这时z324318.152022辽宁卷 椭圆C：1，点M与C的焦点不重合假设M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，那么|AN|BN|_1512解析设MN的中点为G，那么点G在椭圆C上，设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，那么有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.162022辽宁卷 对于c0，当非零实数a，b满足4a22abb2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_161解析因为4a22abb2c0，所以(2ab)2c6ab32ab3，所以(2ab)24c，当且仅当b2a，c4a2时，|2ab|取得最大值故1，其最小值为1.17、2022辽宁卷 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.2，cosB，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由2，得cacosB2，又cosB，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accosB，又b3，所以a2c292213.联立得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sinB.由正弦定理，得sinCsinB.因为abc，所以C为锐角，因此cosC.于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC.18、2022辽宁卷 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；(2)在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率附：2，P(2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518解：(1)将22列联表中的数据代入公式计算，得24.762.由于4.7623.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的根本领件空间(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，其中ai表示喜欢甜品的学生，i1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j1，2，3.由10个根本领件组成，且这些根本领件的出现是等可能的用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品这一事件，那么A(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)事件A由7个根本领件组成，因而P(A).19、2022辽宁卷 如图14所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点图14(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高19解：(1)证明：由得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD，同理BGAD.又BGCGG，所以AD平面BGC.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于点O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin60，所以V三棱锥DBCGV三棱锥GBCDSDBChBDBCsin120.20、2022辽宁卷 圆x2y24的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图15所示)图15(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx交于A，B两点，假设PAB的面积为2，求C的标准方程20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，那么切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，其围成的三角形的面积S.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)(2)设C的标准方程为1(ab0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)由点P在C上知1，并由得b2x24x62b20.又x1，x2是方程的根，所以由y1x1，y2x2，得|AB|x1x2|.由点P到直线l的距离为及SPAB|AB|2，得|AB|，即b49b2180，解得b26或3，因此b26，a23(舍)或b23，a26，从而所求C的方程为1.21、2022辽宁卷 函数f(x)(xcosx)2sinx2，g(x)(x)1.证明：(1)存在唯一x0，使f(x0)0；(2)存在唯一x1，使g(x1)0，且对(1)中的x0，有x0x1.21证明：(1)当x时，f(x)sinx2cosx0，所以f(x)在区间上为增函数又f(0)20，f40，所以存在唯一x0，使f(x0)0.(2)当x时，化简得g(x)(x)1.令tx那么t.记u(t)g(t)t1，那么u(t).由(1)得，当t(0，x0)时，u(t)0；当t时，u(t)0.所以在上u(t)为增函数，由u0知，当t时，u(t)0，所以u(t)在上无零点在(0，x0)上u(t)为减函数，由u(0)1及u(x0)0知存在唯一t0(0，x0)，使u(t0)0.于是存在唯一t0，使u(t0)0.设x1t0，那么g(x1)g(t0)u(t0)0.因此存在唯一的x1，使g(x1)0.由于x1t0，t0x0，所以x0x1.222022辽宁卷 选修41：几何证明选讲图16如图16，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)假设ACBD，求证：ABED.22证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.因为AFEP，所以PFA90，所以BDA90，故AB为圆的直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB，所以DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因为ABEP，所以DCEP，DCE为直角所以ED为直径又由(1)知AB为圆的直径，所以EDAB.232022辽宁卷 选修44：坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程23解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上的点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，那么线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率k，于是所求直线方程为y1，即2x4y3，化为极坐标方程，得2cos4sin3，即.242022辽宁卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.24解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集M.(2)由g(x)16x28x14得164，解得x，因此N，故MN.当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x).