2022北京市通州区高三(上)期末数学(文).docx

2022北京市通州区高三〔上〕期末
数学〔文〕2022年1月
第一卷 〔选择题 共40分〕
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．集合，集合，那么等于
A．B．C．D．
2．以下函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是
A．B．C．D．
3．一个算法的程序框图如下列图，如果输出的值是，那么输入的值是
开始
输入

是
否
输出
结束
A．或 B．或 C．或 D．或
〔第3题〕 〔第4题〕
4．在正方形网格中，某四面体的三视图如下列图．如果小正方形网格的边长为1，那么
该四面体的体积是
A．B．C．D．
5．，那么“直线与垂直〞是“〞的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．，，，那么以下不等式一定成立的是
A. B. C. D.
7．点，点满足线性约束条件为坐标原点，那么的最小值是
A. B. C. D.
8．如图，各棱长均为的正三棱柱，，分别为线段，上的动点，且∥平面，那么这样的有
A．条 B． 条
C．条 D．无数条
第二卷 〔非选择题 共110分〕
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上．
9．复数的实部与虚部相等，那么实数_______.
10．点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是_______.
11．在△ABC中，，，， 那么 _______.
12．向量，，假设，，，那么，夹角的度数为_______.
13．圆的圆心在轴上，半径长是，且与直线相切，那么圆的方程是_______.
14．函数
〔1〕假设，那么的零点是_______.
〔2〕假设无零点，那么实数的取值范围是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．〔此题总分值13分〕
函数.
〔Ⅰ〕求的最小正周期及单调递增区间；
〔Ⅱ〕求在区间上的最大值和最小值．
16．〔此题总分值13分〕

6

3

9

7

9

6

8

8

甲地企业
4
乙地企业
7

9
8
3
某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业〔共10个企业〕进行综合评估，得分情况如茎叶图所示.
〔Ⅰ〕根据茎叶图，求乙地对企业评估得
分的平均值和方差；
〔Ⅱ〕规定得分在85分以上为优秀企业.
假设从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各
随机选取1个，求这两个企业得分的差的
绝对值不超过5分的概率.
注：方差
17．〔此题总分值13分〕
数列的前项和为，，.
〔Ⅰ〕求，的值；
〔Ⅱ〕设，求数列的前项和.
18．〔此题总分值14分〕
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点，分别是，的中点.
〔Ⅰ〕求证：平面；
〔Ⅱ〕求证：平面；
〔Ⅲ〕在棱上求作一点，使得，并说明理由.
19．〔此题总分值13分〕
椭圆过点，离心率.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，假设轴平分 ，求的值．
20．〔此题总分值14分〕
函数，．
〔Ⅰ〕当时，求曲线在处的切线方程；
〔Ⅱ〕求函数在上的最小值；
〔Ⅲ〕假设函数，当时，的最大值为，求证：.
数学试题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
A
B
D
C
D
二、填空题
9．10.11.
12. 13. ，14.，
三、解答题
15. 解：〔Ⅰ〕因为．……………………4分
所以的最小正周期……………………5分
由，得
所以的单调递增区间是……………………7分
〔Ⅱ〕因为，所以.
所以当，即时，函数取得最大值是.
当，即时，函数取得最小值．
所以在区间上的最大值和最小值分别为和．……………………13分
16. 解：〔Ⅰ〕乙地对企业评估得分的平均值是，
方差是.
……………………4分
〔Ⅱ〕从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有，，，，，，，，，，，共组， ……………………8分
设“得分的差的绝对值不超过5分〞为事件，
那么事件包含有，，，，，，，共组. ……………………11分
所以
所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是……………………13分
17. 〔Ⅰ〕因为，，所以
所以……………………2分
所以
所以……………………4分
〔Ⅱ〕因为，所以，
所以所以……………………7分
因为……………………8分
所以数列是首项，公比是的等比数列.
所以
因为，所以……………………9分
所以
所以数列的前项和……………………13分
18.解：〔Ⅰ〕因为点，分别是，的中点，所以
因为四边形为正方形，所以
所以
因为平面，平面，
所以平面……………………4分
〔Ⅱ〕因为平面底面，，
所以平面
因为平面，所以
因为，点是的中点，所以
因为，平面，平面，
所以平面……………………9分
〔Ⅲ〕取中点，连接，，过点作，交于点. 那么点即为所求作的点.
……………………11分
理由：因为，点是的中点，所以
因为平面底面，所以平面
所以
因为，，所以平面
因为平面，所以……………………14分
19.解：〔Ⅰ〕因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，
所以，……………………2分
所以由，得……………………3分
所以椭圆的标准方程是……………………4分
〔Ⅱ〕因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.
联立方程组 消去，得
显然设点，，
所以，……………………7分
因为轴平分，所以.
所以……………………9分
所以所以
所以
所以
所以
所以
所以……………………12分
因为，
所以……………………13分
20. 解：〔Ⅰ〕因为函数，且，
所以，
所以
所以，
所以曲线在处的切线方程是，即
……………………3分
〔Ⅱ〕因为函数，所以
〔1〕当时，，所以在上单调递增.
所以函数在上的最小值是
〔2〕当时，令，即，所以
令，即，所以
〔i〕当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
〔ii〕当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值是
〔iii〕当，即时，在上单调递减，
所以在上的最小值是
综上所述，当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是……………………7分
〔Ⅲ〕因为函数，所以
所以当时，
令，所以是单调递减函数.
因为，，
所以在上存在，使得，即
所以当时，；当时，
即当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得最大值是
因为，所以
因为，所以
所以……………………14分