2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(四川卷详解).docx

2022·四川卷(文科数学)
1．[2022·四川卷] 集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，那么A∩B＝(　　)
A．{－1，0}B．{0，1}
C．{－2，－1，0，1}D．{－1，0，1，2}
1．D[解析]由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}．应选D.
2．、[2022·四川卷] 在“世界读书日〞前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是(　　)
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
2．A[解析]根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体〞．应选A.
3．[2022·四川卷] 为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sinx的图像上所有的点(　　)
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
3．A[解析]由函数y＝sin x的图像变换得到函数y＝sin(x＋1)的图像，应该将函数y＝sinx图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，应选A.
图1­1
4．[2022·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1­1所示，那么该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)(　　)
A．3B．2 C.D．1
4．D[解析]由图可知，三棱锥的底面为边长为2的正三角形，左侧面垂直于底面，且为边长为2的正三角形，所以该三棱锥的底面积S＝2，高h＝，所以其体积V＝Sh＝＝1，应选D.
5．[2022·四川卷] 假设a＞b＞0，c＜d＜0，那么一定有(　　)
A.＞B.＜
C.＞D.＜
5．B[解析]因为c＜d＜0，所以＜＜0，即－＞－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－＞－＞0，
所以<，应选B.
6．、[2022·四川卷] 执行如图1­2的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)
图1­2
A．0B．1 C．2D．3
6．C[解析]题中程序输出的是在的条件下S＝2x＋y的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取最大值2，2>1，应选C.
7．、[2022·四川卷] b＞0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，那么以下等式一定成立的是(　　)
A．d＝acB．a＝cd
C．c＝adD．d＝a＋c
7．B[解析]因为5d＝10，所以d＝log510，所以cd＝lgb·log510＝log5b＝a，应选B.
8．、[2022·四川卷] 如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，那么河流的宽度BC等于(　　)
图1­3
A．240(－1)mB．180(－1)m
C．120(－1)mD．30(＋1)m
8．C[解析]由题意可知，AC＝＝120.
∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
于是BC＝＝＝120(－1)(m)．应选C.
9．、[2022·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，那么|PA|＋|PB|的取值范围是(　　)
A．[，2] B．[，2]
C．[，4] D．[2，4]
9．B[解析]由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，
那么其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，即|PA|＋|PB|≥|AB|＝.
又|PA|＋|PB|＝＝
≤
＝2，
所以|PA|＋|PB|∈[，2]，应选B.
10．[2022·四川卷] F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，那么△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)
A．2B．3 C.D.
10．B[解析]由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，
解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.
当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝(x－y)，
令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．
于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝2|y1|＋2|y2|＋|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，那么AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝22＋＝.而>3，应选B.
11．[2022·四川卷] 双曲线－y2＝1的离心率等于________．
11.[解析]由及双曲线的概念知，a＝2，b＝1，故c＝＝，
故该双曲线的离心率e＝＝.
12．、[2022·四川卷] 复数＝________．
12．－2i[解析]＝＝－2i.
13．[2022·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝那么f＝________．
13．1[解析]由题意可知，f＝ff＝－4＋2＝1.
14．、[2022·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，那么m＝________．
14．2[解析]c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2.
15．、、[2022·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，那么“f(x)∈A〞的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b〞；
②假设函数f(x)∈B，那么f(x)有最大值和最小值；
③假设函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，那么f(x)＋g(x)∈/B；
④假设函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，那么f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④[解析]假设f(x)∈A，那么函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确
16．、[2022·四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞的概率．
16．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞为事件A，
那么事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞为事件B，
那么事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞的概率为.
17．、、、[2022·四川卷] 函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)假设α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．
17．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由，得sin＝cos(cos2α－sin2α)．
所以sinαcos＋cosαsin＝
(cos2α－sin2α)，
即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．
当sinα＋cosα＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝.
由α是第二象限角，得cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
18．、[2022·四川卷] 在如图1­4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
(1)假设AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC请证明你的结论．
图1­4
18．解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，
所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.
又由，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，
所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．
图1­4
由，O为AC1的中点．
连接MD，OE，那么MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD綊AC，OE綊AC，
因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DE∥MO.
因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC.
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
19．、、[2022·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)假设a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.
19．解：(1)证明：由得，bn＝2an＞0，
当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d.
故数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．
(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，
其在x轴上的截距为a2－.
由题意知，a2－＝2－，
解得a2＝2，
所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.
于是，Sn＝14＋242＋343＋…＋(n－1)4n－1＋n4n，
4Sn＝142＋243＋…＋(n－1)4n＋n4n＋1，
因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝，
所以，Sn＝.
20．、[2022·四川卷] 椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
20．解：(1)由可得，＝，c＝2，所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)设T点的坐标为(－3，m)，那么直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．
所以
解得m＝±1.
此时，四边形OPTQ的面积
S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2·|OF|·|y1－y2|＝
2＝2.
21．、[2022·四川卷] 函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)假设f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，那么由f(0)＝f(x0)＝0可知，
f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
那么g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以＜a＜.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2＜a＜1.
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.